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文档简介

2-4隐函数及由参数方程所确定函数的导数 相关变化率,隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数 相关变化率,一、隐函数的导数 102,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,例1 1),解,解得,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,2)设 y=y(x) 由方程 ey =xe f(y) 确定, f 二阶可导, f 1, 求 y.,解 方程两边对x求导: ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y,故,3) 函数y=y(x)由方程,所确定,求,解：,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,二、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,例4,解,等式两边取对数得,例5,解,等式两边取对数得,一般地,三、由参数方程所确定的函数的导数 P106,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,x=OT-PQ=r-rsin=r(-sin) y=TC-QC=r(1-cos) 注：摆线也叫旋轮线，是数学、力学和物理上比较最要的曲线，伽利略第一位研究（意大利,15641642），他提出按旋轮线的形太造桥；后来伯努利（瑞士数学家16671748）证明倒摆线是最速降线；惠更斯（荷兰物理学家16291659）证明摆线是等时曲线即不管质点P在倒摆线的哪个位置，滑到底部所需的时间相同，钟摆要按摆线的弧摆动，无论摆幅大小，钟摆完成一次摆动所用时间相同,例,解,所求切线方程为,2) 设,其中f 可导, 且,解：,3) 求 对数螺线,在点,处的切线的直角坐标方程。,解：,曲线在点,处的切线的斜率为,因此，所求切线方程为,即,例7,解,例8,解,四、 相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,1.先建立x,y之间的函数关系F(x,y)=0, 2.方程F(x,y)=0两边对t求导,得到 与 的关系式.,解决这类问题的一般途径是:,例 以每秒10cm3 的速度给气球打气,当气球半径为5cm时, 气球表面的增长率是多少?,例1,解,仰角增加率,例拉船靠岸问题 在离水面高度为h（米），有人用绳子拉船靠岸，若绳子长L（米）船离岸s（米），问当收船的速度为v0（m/s）时船的速度v多少？,例3如图是一个高4米底半径2米的圆锥容器，若以 2米3/秒速度注水，求水深3米时水面的上长速度。,解：V=
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