《D84平面及其方程》PPT课件.pptVIP

,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面及其方程,第八章,一、平面方程 1.平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求过三点,即,解: 取该平面 的法向量为,的平面 的方程.,利用点法式得平面 的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当平面与三坐标轴的交点分别为,此式称为平面的截距式方程.,时,平面方程为,分析:利用三点式,按第一行展开得,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减 , 得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊情形, 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示,通过原点的平面;, 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 轴;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,解:,因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,(P18 例3 , 自己练习),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、两平面的夹角,设平面1的法向量为,平面2的法向量为,则两平面夹角 的余弦为,即,两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有下列结论：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此有,例3. 一平面通过两点,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 设所求平面的法向量为,即,的法向量,约去C , 得,即,和,则所求平面,故,方程为,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,外一点,求,设,设平面法向量为,在平面上取一点,是平面,到平面的距离d .,则P0 到平面的距离为,(点到平面的距离公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.点到平面的距离,1、空间直线一般、点向式、参数式方程,2、线面间的位置关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间直线的方程,第八章,因此其一般式方程,1. 1 一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、空间直线一般、点向式、参数式方程,1.2 对称式方程,故有,说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如, 当,和它的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.3. 参数式方程,设,得参数式方程 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x = 1, 解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,(参考P35例8),从而,的方向向量为,的方向向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,3. 直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,直线和它在平面上的投影直,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别有:,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例6. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,机动 目录 上页 下