《MATLAB数值计算》PPT课件.ppt

第3章 MATLAB数值计算,2019/5/12,第3章 MATLAB数值计算,3.1 多项式 3.2 插值和拟合 3.3 数值微积分 3.4 线性方程组的数值解 3.5 稀疏矩阵 3.6 常微分方程的数值解,3.1.1 多项式的表达和创建,3.1 多项式,表示成向量的形式，系数按降序排列,例如,x = 1 3 -15 -2 9,y = 1 0 0 0 1,3.1.2 多项式的四则运算,多项式相加减没有专门的函数，可以自己定义。 多项式相乘函数 conv 的语法为 c=conv(a,b)，其 中 a, b 代表两个多项式的系数向量,【例 3.1】 完成两个同阶次多项式： 的相乘运算。 a=1 2 3 4; b=1 4 9 16; e = conv(a,b) e = 1 6 20 50 75 84 64,多项式相除函数 deconv 的语法为 q,r=deconv(a,b)，其中 q，r分别代表整除多项式及余数多项式,【例 3.2】 利用例 3.4 中的数据。 f, r = deconv(e,b) f = 1 2 3 4 r = 0 0 0 0 0 0 0,3.1.3 多项式求值和求根运算,1. 多项式求值 语法格式为 y = polyval(p,x) 其中 p 代表多项式各阶系数向量，x 为要求值的点。当 x 表示矩阵时，需用 y=polyvalm(p,x)来计算相应的值。,【例 3.3】 利用 polyval 函数找出 在 s=3 处的值： p=1 2 -12 -1 7; z=polyval(p,3) z = 31,【例 3.4】 利用 polyval找出多项式 在-1,4间均匀分布的 5个离散点的值。 x=linspace(-1,4,5) % 在-1,4区间产生5个离散点 p=1 4 7 -8; v=polyval(p,x) x = -1.0000 0.2500 1.5000 2.7500 4.0000 v = -12.0000 -5.9844 14.8750 62.2969 148.0000 v 即为多项式在各个离散点上对应的函数值。,【例 3.5】 估计矩阵多项式 P (X) = X3 2X I在已知矩阵 X 处的值，其中 X=1 2 1; -1 0 2; 4 1 2。 X = 1 2 1; -1 0 2; 4 1 2; P=1 -2 -1; Y = polyvalm(P,X) Y = 0 -1 5 9 -1 -1 3 8 5,2. 多项式求根,语法为：x=roots(P)，其中 P 为多项式的系数向量，x 也为向量，即 x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的 n 个根。MATLAB规定：多项式是行向量，根是列向量。,【例 3.6】 求解多项式 的根。 roots(1 3 -12 -2 8) ans = -5.18325528043789 2.17062070347062 -0.83694739215044 0.84958196911772 注意：在上面的程序中，数字格式都设为长(long)型，若改为短(short)型，结果会有差别， 根据需要可执行 MATLAB 窗口的 Fle | Preferences命令进行修改。,3.1.4 多项式的构造,函数 poly2sym来构造多项式 函数 poly来求根对应的多项式的各阶系数,【例 3.7】 利用函数 poly2sym构造多项式 。 T=1 3 -15 -2 9; poly2sym(T); ans = x4+3*x3-15*x2-2*x+9,【例 3.8】 用多项式的根构造上例多项式 。 T=1 3 -15 -2 9; %多项式的系数向量 r=roots(T); %求得多项式的根 poly(r) %利用根构造出多项式 ans = 1.0000 3.0000 -15.0000 -2.0000 9.0000,3.2 插值和拟合,3.2.1 多项式插值和拟合,已知 节点,构造函数,插值,使得,拟合,拟合就是要找出一个曲线方程式（多项式拟合就是设 法找一个多项式），使得它与观测数据最为接近，这时 不要求拟合多项式通过全部已知的观测节点。,1多项式插值函数(interp1),yi = interp1(x,y,xi,method) 对应于插值函数 ，其中 x 和 y是原已知数据的 x、y 值，xi 是要内插的数据点，method是插值方法。,【例 3.9】 取余弦曲线上 11 个点的自变量和函数值点作为已知数据，再选取 41 个自变量点，分别用分段线性插值、三次方程式插值和样条插值3 种方法计算确定插值函数的值。 x=0:10; y=cos(x); xi=0:.25:10; y0=cos(xi); %精确值 y1=interp1(x,y,xi); %线性插值结果 y2=interp1(x,y,xi,cubic); %三次方程式插值结果 y3=interp1(x,y,xi,spline); %样条插值结果 %plot(xi,y0,o,xi,y1, -, xi,y2,-.,xi,y3,-) subplot(2,2,1);plot(xi,y0,o) subplot(2,2,2); plot(xi,y1, -) subplot(2,2,3); plot(xi,y2,-.) subplot(2,2,4); plot(xi,y3, -),2多项式拟合函数 polyfit p=polyfit(x,y,n) p,s=polyfit(x,y,n) 其中x,y为已知的数据组，n 为要拟合的多项式的阶次，向量p 为返回的要拟合的多项式的系数，向量s 为调用函数polyval 获得的错误预估计值。 一般来说，多项式拟合中阶数n 越大，拟合的精度就越高。 函数 polyfit 常和函数 polyval(见 3.1.3 节)结合起来使用，由 polyfit 计算出多项式的各个系数 后，再利用polyval 对输入向量决定的多项式求值。,【例 3.10】 对向量X=-2.8 -1 0.2 2.1 5.2 6.8和Y=3.1 4.6 2.3 1.2 2.3 -1.1分别进行阶数为3、4、5 的多项式拟合，并画出图形进行比较。 x=-2.8 -1 0.2 2.1 5.2 6.8; y=3.1 4.6 2.3 1.2 2.3 -1.1; p3=polyfit(x, y, 3); % 用不同阶数的多项式拟合x和y p4=polyfit(x, y, 4); p5=polyfit(x, y, 5); xcurve= -3.5:0.1:7.2; % 生成x值 p3curve=polyval(p3, xcurve); % 计算在这些x点的多项式值 p4curve=polyval(p4, xcurve); p5curve=polyval(p5, xcurve); plot(xcurve,p3curve,-,xcurve,p4curve,-.,xcurve,p5curve,-,x,y,*);,3.3 数值微积分,3.3.1 微分和差分,函数diff:计算两个相邻点的差值. 语法,diff(x) 返回x 对预设独立变量的一次微分； diff(x,t) 返回x 对独立变量t 的一次微分值； diff(x,n) 返回x 对预设独立变量的n 次微分值； diff(x,t,n) 返回x 对独立变量t 的n 次微分值。 其中x代表一组离散点 。 计算 的数值微分为dy=diff(y)./diff(x)。,【例 3.11】 计算多项式 在 -4, 5 区间的微分。 x=linspace(-4,5); %产生100个x的离散点 p= 1 -3 -8 7 3 -5; f=polyval(p,x); %多项式在100个离散x点上对应的值 plot(x,f) %将多项式函数绘图 title(多项式方程) ;,【例 3.12】 对 3 个方程式 利用diff 的4 种语法格式计算微分的示例。 S1 = 6*x3-4*x2+b*x-5; %符号表达式(见第5章) S2 = sin(a); S3 = (1 - t3)/(1 + t4); diff(S1) %对预设独立变量x的一次微分值 ans= 18*x2-8*x+b diff(S1,2) %对预设独立变量x的二次微分值 ans= 36*x-8 diff(S1,b) %对独立变量b的一次微分值,ans= x diff(S2) %对预设独立变量a的一次微分值 ans= cos(a) diff(S3) %对预设独立变量t的一次微分值 ans= -3*t2/(1+t4)-4*(1-t3)/(1+t4)2*t3,【例 3.13】 利用矩形法计算积分 (该积分的精确值为2)。 x=linspace(0,pi,100); %在0，之间取100个离散点 y=sin(x); T=cumsum(y)*pi/(100-1); % pi/(100-1)表示两个离散点之间的距离 I=T(100) %函数在0，之间的矩形积分 I= 1.9998,3.3.2 牛顿-科茨系列数值积分公式,1. 矩形法数值积分,函数cumsum,cumsum(x)*h，其中h 为子区间步长， cumsum(x)对应 。,【例 3.14】 利用梯形法计算积分 。 x=linspace(0,pi,100); y=sin(x); t=trapz(x,y) t = 1.9998,z=trapz(x,y) 表示通过梯形积分法计算 y 对 x 的数值积分。,函数trapz,2. 梯形法数值积分,【例 3.15】 用辛普森积分公式求 的积分。 解：方法1 quad(1./(x.3-2*x-5),0,2) ans = -0.4605 方法2 F=1./(x.3-2*x-5); quad(F,0,2) ans= -0.4605,3. 辛普森数值积分,q=quad(f,a,b),【例 3.16】 用科茨积分公式求 的积分。 quadl(1./(x.3-2*x-5),0,2) ans = -0.4605,4. 科茨数值积分,函数quadl,q = quadl(fun,a,b),3.4 线性方程组的数值解,1. 矩阵相除法,对线性方程组 AX=B X=AB,2. 消去法,方程的个数和未知数个数不相等，用消去法。将增广矩阵(由A B构成)化为简化阶梯形，若系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，则方程组无解；若两者的秩相等，则