等比数列及其前n项和.ppt

要点梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an= .,6.3 等比数列及其前n项和,从第二项起，后项与相邻前项的比是,一个确定的常数（不为零）,公比,q,a1qn-1,基础知识 自主学习,3.等比中项 若 ，那么G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am ,(n，mN*). （2）若an为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，nN*），则 . （3）若an，bn（项数相同）是等比数列，则 an（ 0）， ， ，anbn， 仍是等比数列.,G2=ab,qn-m,akal=aman,5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q（q0），其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1；当q1时，Sn= 6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为 .,qn,基础自测 1.设a1=2,数列an+1是以3为公比的等比数列，则a4的值为 （ ） A.80 B.81 C.54 D.53 解析 由已知得an+1=(a1+1)qn-1, 即an+1=33n-1=3n, an=3n-1，a4=34-1=80.,A,2.等比数列an中，a4=4,则a2a4a6等于（ ） A.4 B.8 C.32 D.64 解析 a4是a2与a6的等比中项， a2a6= =16.a2a4a6=64.,D,3.（2009广东文，5）已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2 ,a2=1,则a1=（ ） A.2 B. C. D. 解析 设公比为q,由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,即q2=2.因为等比数列an的公比为正数,所以q= ,故a1=,C,4.在等比数列an中，前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则公比q的值是 （ ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 解析 方法一 依题意，q1, =7， =63. 得1+q3=9,q3=8,q=2. 方法二 (a1+a2+a3)q3=a4+a5+a6, 而a4+a5+a6=S6-S3=56, 7q3=56,q3=8,q=2.,A,5.（2008浙江理，6）已知an是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+anan+1等于（ ） A.16(1-4-n) B.16(1-2-n) C. (1-4-n) D. (1-2-n) 解析 anan+1=4（ ）n-14（ ）n=25-2n, 故a1a2+a2a3+a3a4+anan+1 =23+21+2-1+2-3+25-2n,C,题型一 等比数列的基本运算 【例1】已知an为等比数列，a3=2，a2+a4= ，求an的通项公式. 根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组. 解 方法一 设等比数列an的公比为q，则q0， a2= a4=a3q=2q， +2q= 解得q1= ，q2=3.,思维启迪,题型分类 深度剖析,当q= 时，a1=18， an=18（ ）n-1= =233-n. 当q=3时，a1= ， an= 3n-1=23n-3. 综上所述，an=233-n或an=23n-3. 方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4= ， 则a2，a4为方程x2- x+4=0的两根，,a2= a2=6 a4=6 a4=,解得,或,.,当a2= 时,q=3,an=a3qn-3=23n-3. 当a2=6时，q= ,an=233-n an=23n-3或an=233-n. （1）等比数列an中，an=a1qn-1, Sn= 中有五个量，可以知三求二；（2）注意分 类讨论的应用.,探究提高,知能迁移1 已知等比数列an中，a1=2,a3+2是a2和a4的等差中项. （1）求数列an的通项公式； （2）记bn=anlog2an,求数列bn的前n项和Sn. 解 （1）设数列an的公比为q, 由题意知：2(a3+2)=a2+a4, q3-2q2+q-2=0，即(q-2)(q2+1)=0. q=2，即an=22n-1=2n.,（2）bn=anlog2an=n2n, Sn=12+222+323+n2n. 2Sn=122+223+324+（n-1）2n+n2n+1. -得-Sn=21+22+23+24+2n-n2n+1 =-2-(n-1)2n+1. Sn=2+（n-1）2n+1.,题型二 等比数列的判定与证明 【例2】 （2008湖北文，21）已知数列an和bn满足：a1= ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 为实数，n为正整数. （1）证明：对任意实数 ,数列an不是等比数列; （2）证明：当 -18时，数列bn是等比数列. （1）可用反证法. （2）根据递推关系推出bn+1=- bn，用 -18说明b10，即bn0.,思维启迪,证明 （1）假设存在一个实数 ,使an是等比数列, 则有 =a1a3,即 9=0,矛盾. 所以an不是等比数列. （2）bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21 =(-1)n+1( an-2n+14) =- (-1)n(an-3n+21)=- bn. 又 -18，所以b1=-( +18)0.,由上式知bn0,所以 (nN*). 故当 -18时，数列bn是以-( +18)为首项， 为公比的等比数列. 证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种：一是利用等比数列的定义，即证明 (q0,nN*)，二是利用等比中项法，即证明 =anan+20 (nN*).在解题中，要注意根据欲证明 的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构 造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论.,探究提高,知能迁移2 （2009全国理，19）设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1，Sn+1=4an+2. （1）设bn=an+1-2an，证明数列bn是等比数列； （2）求数列an的通项公式. （1）证明 由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3. 又an+2=Sn+2-Sn+1 =4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an, 于是an+2-2an+1=2(an+1-2an)，即bn+1=2bn. 因此数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.,(2)解 由（1）知等比数列bn中b1=3,公比q=2, 所以an+1-2an=32n-1,于是 因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, 所以an=(3n-1)2n-2.,题型三 等比数列的性质及应用 【例3】在等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=8且 =2,求a3. （1）由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3. （2）也可利用性质 =a1a5=a2a4直接求得a3. 解 方法一 设公比为q,显然q1, an是等比数列， 也是等比数列，公比 为 .,思维启迪, =（a1q2）2=4，a3=2. 方法二 由已知得 =4.a3=2.,由已知条件得,探究提高 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=p+q,则aman=apaq”，可以减少运算量，提高解题速度.,知能迁移3 （1）已知等比数列an中，有a3a11=4a7，数列bn是等差数列，且b7=a7,求b5+b9的值; （2）在等比数列an中，若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16= 8,求a41a42a43a44.,解 （1）a3a11= =4a7， a70，a7=4，b7=4， bn为等差数列，b5+b9=2b7=8.,（2）方法一 a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3= q6=1. a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 = q54=8. ： =q48=8q16=2， 又a41a42a43a44=a1q40a1q41a1q42a1q43 = q166= q6q160=( q6)(q16)10 =1210=1 024.,方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列， 设公比为p，设T1=a1a2a3a4=1， T4=a13a14a15a16=8， T4=T1p3=1p3=8，p=2. T11=a41a42a43a44=T1p10=210=1 024.,题型四 等差、等比数列的综合应用 【例4】 （12分）已知等差数列an的首项a1=1,公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项. （1）求数列an与bn的通项公式； （2）设数列cn对nN*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+c2 010. （1）可用基本量法求解；（2）作差an+1-an=,思维启迪,解 （1）由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, （1+4d）2=(1+d)(1+13d). 解得d=2(d0). 2分 an=1+(n-1)2=2n-1. 3分 又b2=a2=3,b3=a5=9, 数列bn的公比为3, bn=33n-2=3n-1. 5分 （2）由 得 当n2时, 两式相减得:n2时, =an+1-an=2. 8分,cn=2bn=23n-1 (n2). 又当n=1时， =a2,c1=3. 3 (n=1) 23n-1 (n2). 10分 c1+c2+c3+c2 010 =3+ =3+(-3+32 010)=32 010. 12分 在解决等差、等比数列的综合题时，重 点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、 通项公式及前n项和公式.本题第（1）问就是用基本量 公差、公比求解；第（2）问在作差an+1-an时要注意 n2.,探究提高,cn=,知能迁移4 已知数列an中，a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an-qan-1 (n2,q0). （1）设bn=an+1-an (nN*),证明：bn是等比数 列； （2）求数列an的通项公式； （3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明： 对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项. （1）证明 由题设an+1=（1+q）an-qan-1 （n2）， 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n2. 由b1=a2-a1=1,q0,所以bn是首项为1，公比为q 的等比数列.,（2）解 由（1）， a2-a1=1,a3-a2=q, an-an-1=qn-2 (n2). 将以上各式相加，得an-a1=1+q+qn-2 (n2)， 即an=a1+1+q+qn-2 (n2). 所以当n2时， （3）解 由（2），当q=1时，显然a3不是a6与a9的 等差中项，故q1. 由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q0得 q3-1=1-q6,上式对n=1显然成立.,整理得（q3）2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1（舍去）. 于是q= . 另一方面， an-an+3= an+6-an= 由可得an-an+3=an+6-an, 即2an=an+3+an+6,nN*. 所以对任意的nN*,an是an+3与an+6的等差中项.,方法与技巧 1.等比数列的判定方法有以下几种： (1)定义： =q (q是不为零的常数，nN*) an是等比数列. (2)通项公式：an=cqn (c、q均是不为零的常数, nN*)an是等比数列. (3)中项公式: =anan+2(anan+1an+20, nN*) an是等比数列.,思想方法 感悟提高,2.方程观点以及基本量（首项和公比a1,q）思想仍 然是求解等比数列问题的基本方法：在a1,q,n,an,Sn 五个量中，知三求二. 3.分类讨论的思想：当a10,q 1或a10,0q 1时，an为递增数列；当a10,q1或a10, 0q1时，an为递减数列；当q0时，an 为摆动数列；当q=1时，an为常数列. 失误与防范 1.特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况. 2.由an+1=qan,q0,并不能立即断言an为等比数 列，还要验证a10. 3.Sn+m=Sn+qnSm.,一、选择题 1.（2009广东理，4）已知等比数列an满足an0,n=1,2,且a5a2n-5=22n(n3)，则当n1时，log2a1+log2a3+log2a2n-1= （ ） A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 解析 由题意知an=2n,log2a2n-1=2n-1, log2a1+log2a3+log2a2n-1=1+3+(2n-1)=n2.,C,定时检测,2.（2009辽宁理，6）设等比数列an的前n项和为Sn,若 =3,则 = （ ） A.2 B. C. D.3 解析 由题意知 q3=2.,B,3.等比数列an中，其公比q0，且a2=1-a1,a4=4-a3,则a4+a5等于 （ ） A.8 B.-8 C.16 D.-16 解析 a1+a2=1，a3+a4=4=（a1+a2）q2， 又q0，q=-2. a4+a5=（a3+a4）q=4（-2）=-8.,B,4.在数列an中，an+1=can (c为非零常数)，且前n项和为Sn=3n+k，则实数k的值为 （ ） A.0 B.1 C.-1 D.2 解析 an为等比数列的充要条件是Sn= 由Sn=3n+k知k=-1.,C,5.等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a11,a99a100-10， 0.给出下列结论：0q1；a99a101-10；T100的值是Tn中最大的；使Tn1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是 （ ） A. B. C. D.,解析 中， 正确. a99a101=a1002 0a1001 T100=T99a100 0a1001,中，,a99a1011,正确.,T100T99,错误.,中，,中，T198=a1a2a198=(a1a198) (a2a197) (a99a100)=(a99a100)991, T199=a1a2a198a199=（a1a199）(a99a101) a100=a1001991,正确. 答案 A,6.在正项等比数列an中，an+1an，a2a8=6，a4+a6=5,则 等于 （ ） A. B. C. D. 解析 设公比为q,则由an+1an知0q1, 由a2a8=6，得 =6. a5= ，a4+a6= 解得q=,D,二、填空题 7.（2009浙江，11）设等比数列an的公比q= 前n项和为Sn，则 = . 解析 S4= a4=a1q3,15,8.（2009海南文，15）等比数列an的公比q0. 已知a2=1，an+2+an+1=6an，则an的前4项和S4= . 解析 an是等比数列，an+2+an+1=6an可化 为a1qn+1+a1qn=6a1qn-1,q2+q-6=0 q0,q=2,S4=,9.（2009江苏，14）设an是公比为q的等比数列， |q|1,令bn=an+1(n=1,2,)，若数列bn有连续 四项在集合-53,-23，19，37，82中，则6q= . 解析 由题意知，数列bn有连续四项在集合-53, -23,19,37,82中，说明an有连续四项在集合-54, -24,18,36,81中，由于an中连续四项至少有一项 为负，q0, 又|q|1,an的连续四项为一24,36,-54,81. q= 6q=-9.,-9,三、解答题 10.等比数列an满足:a1+a6=11, a3a4= ，且公 比q(0,1). （1）求数列an的通项公式； （2）若该数列前n项和Sn=21，求n的值. 解 （1）a3a4=a1a6= ， 由条件知a1,a6是方程x2-11x+ =0的两根， 解得x= 或x=,又0q1,a1= ,a6= . q5= 即q= an=a6q