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第二章 连续时不变（Linear Time Invariant-LTI）系统时域分析,2-1 二阶电路时域模型与时域经典分析,一、 RLC串联电路零输入响应,t0 , 开关断开,设：,t 0 , 开关合上，有：,-输入输出信号（包括内部信号）都为连续时间信号,可得,又,特征方程：,t0 , 列关于uc(t)的微分方程：,二阶常系数线性 齐次微分方程,初始条件,特征根:,（自然频率、固有频率）,1、单实根： （过阻尼） 即,3、共轭复根：(欠阻尼) 即,2、重根：(临界阻尼) 即,特征根为重根：,特征根为共轭复根：,4、R=0 （无阻尼）,（欠阻尼）,uc(t),0,t,Us,特征根为共轭虚根：,二、 RLC串联电路零状态响应,t0 , K在1，列关于uc(t)的微分方程：,特征方程：,t0 , K在2,电路稳定，有,初始条件：,通解:,齐次方程的通解 自由响应,特解 强迫响应,二阶常系数线性 非齐次微分方程,特解：,特征根:,（自然频率、固有频率）,3、共轭复根：(欠阻尼) 即,2、重根：(临界阻尼) 即,1、单实根：(过阻尼) 即,三、 RLC串联电路全响应,t0 , K在1，由KVL, 有,特征方程：,t0 , K在2,有,初始条件：,二阶常系数线性 非齐次微分方程,通解:,齐次方程的通解,特解,特解：,全响应另外求法：分别求出零输入响应和零状态响应。,例：判断图示电路的阻尼情况。,过阻尼,2-2 系统时域描述-微分方程、传输算子、系统框图、h(t),一、微积分方程：,二、传输算子 1、微分算子,回路1：,回路2：,2、算子形式的方程及电路模型,有,3、传输算子,设：,则：,传输算子,传输算子,4、利用传输算子写出微分方程,对于n阶系统： 传输算子可表示为两个p的多项式之比：,注意：传输算子的分母为齐次微分方程的特征方程， 分母的阶次为电路的阶数。,例：求传输算子：,并写出关于u2 的微分方程。,解：,三、模拟框图： 由模拟单元组 成系统功能框图,模拟框图H(p),四、自然频率,1、定义：系统对应特征方程的根称为自然频率或固有频率。 系统固有参数，与激励无关。,2、意义：反映系统时域特性。,2-3 连续系统时域经典分析,一、微分方程经典解,齐次方程通解,非齐次方程特解,齐次解：,特征方程：,1）自然频率全部为单根：,2）自然频率含重根： p1=p2=pr，其余单根,特解：,特解的形式与激励形式有关。由激励形式设出特解，代入微分方程求特解的待定系数。,完全解：,例如激励为常数，特解为,代入初始条件（初始值），确定齐次解的待定系数。,二、由初始状态（0-）确定初始值（0+）,1、电路,根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理，由初始状态求出系统的初始值。,自由响应,强迫响应,2、由微分方程确定0+时刻的状态-初始条件,状态（0-）到状态（0+）跳变与否取决于方程右边是否有冲激和它的各阶导数。有两种方法：,方程右边无冲激和它的各阶导数，如U(t)，系统的由状态（0-）到状态（0+）不会发生跳变。如二阶系统：,（1）冲激函数匹配法：,设：,代入：,得：,一阶系统：,有：,n阶系统有：,0-到0+相对单位跳变,（2）作0-0+积分(方程右边最高为冲激，否则用冲激函数匹配法),适用于n阶系统当,在0-到0+不发生跳变时。,例1：,已知,求,解：,在0时刻含有冲激。,在0时刻发生跳变。,在0时刻连续。,例2：图示电路， 已知： i1(0-) =1A， i2(0-)=2A ； f(t) =6U(t) . 求 i2(t) 。,解：,=2,=-3,由0+电路求得,用传输算子法求出,2-4 零输入响应和零状态响应,经典法把全响应分解成自由响应和强迫响应。,全响应的另一种分解，全响应等于零输入响应和零状态响应 之和,一、零输入响应,零输入响应形式上与微分方程齐次解完全相同，待定系数不同，零输入响应的系数由初始状态确定，齐次解的系数由初始状态和激励共同确定。,对于n阶系统：,二、零状态响应,系统状态为零时齐次方程的解。求解方法可以用经典法。,例1：某LTI系统的微分方程为,已知,求零状态响应和零输入响应。,解：（1）零输入响应,自然频率：p1= -1，p2=-2,（2）零状态响应,含冲激，,发生跃变，,在t=0处连续。,特解：,零状态响应：,例2：某LTI系统的微分方程为,若f(t)=U(t)，求系统的零状态响应。,解：只有f(t)作用于系统的零状态响应为,在t=0处连续，有,特解为,由微分性和线性性：,一、单位阶跃响应,2-5 连续时不变系统阶跃响应与冲激响应 两个重要的响应,求解方法： 一阶电路：三要素法 高阶（电路）系统：经典法,例1：已知描述某系统的微分方程为,求f(t)=U(t)时的零状态响应y(t)。,激励为单位阶跃信号时系统的零状态响应.,解：经典法,含冲激，,发生跃变，,在t=0处连续。,另解：（了解）,该例用的是系数平衡法，关键是设出正确的通解形式。,特解：,通解：,自然频率：,阶跃响应的另一种求法：对单位冲激响应积分。,二、单位冲激响应,激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。,例1：求冲激响应i。 解：1、求阶跃响应i(t)=g(t)；,2、求冲激响应,1）阶跃响应法,2） 等效初始值法,（1）单个元件等效初值：,等效初始值: uc (o+) =A/C,iL (o+) =A/L,等效初始值:,（2）冲激作用下等效初始值求法,(b) 在t=0时将电感开路，求其冲激电压,则 uc (o+) =A/C,(a)在t=0时将电容短路，求其冲激电流,uL =Bt,则 iL (o+) =B/L,ic =At,求出独立电容电压或独立电感电流，再借助它们求其它量。,解：,练习2: 图示电路， i1 (o-) = i2 (o-) =0， 求iL1 (o+) 、 iL2 (o+) 和i (o+) 。,练习1：图示电路，求u和i。,在t=0时将电容短路，有,i =0.5t,则 u (o+) =A/C=1/6V,解：,在t=0时将电感开路，有,uL1 =3t,uL2 =0,则 iL1 (o+) =B/L=3/2A,iL2 (o+) =0,i (o+) =3/2A,例： 已知描述某系统的微分方程如下，求f(t)=(t)时的零状态 响应h(t)。,解：,3) 经典法-设出正确的h(t)的通解形式,系统自然频率为,冲激激励作用是瞬间给系统输入了能量， t 0时激励为零，单位冲激响应形式与零输入响应形式相同（对于该例），即,确定初始条件：,含冲激，,发生跃变，,在t=0处连续。,该例方程右边不含(t)的各阶导数。如果有(t)的导数，用系统的线性性和微分性求h(t)。,可以直接带入方程确定系数,4）部分分式法,传输算子:,特征方程：,a）当nm，且特征根均为单根时：,将H(p)展开成部分分式：,求hn(t)：,b）当nm，特征根有重根时：,b-1、H(p)展成部分分式方法,含一个三重根,b-2、冲激响应的形式,P1为r重根：,其它形式：,c）当n=m时，特征根为单根：,先用长除法，再展开成部分分式：,此时，h(t)中含有冲激信号,d）当nm时，特征根为单根：,同样先用长除法，再展开成部分分式：,求f(t)=(t)时的零状态响应h(t)。,例1：已知描述某系统的微分方程为,答：,例2：已知描述系统的传输算子为：,求系统单位冲激响应h(t)，,答：,求f(t)=(t)时的零状态h(t)。,例3：已知描述某系统的微分方程为,答：,2-6 连续系统时域卷积积分分析法,一、卷积:,1、定义：,2、几何意义：（重点）,二、连续时不变系统零状态响应,有： yf (t)=f(t)*h(t),(t),h(t),(t-) h(t-) f()(t-) f()h(t-),f(t),yf(t),结论：信号f(t)作用于连续时不变系统后的零状态响应yf (t)等于 该信号与系统的单位冲激响应的卷积。,连续变量,任意连续时间信号可 分解为冲激信号的连续和。,设第k个右图所示脉冲单独作用响应为,由线性性和时不变性，零状态响应为,(t-)的响应,三、常用信号的卷积积分,3、f (t)与阶跃信号卷积,1、f (t)与冲激信号卷积,2、f (t)与冲激偶信号卷积,4、常数与f (t)卷积,5、斜坡信号与阶跃信号卷积,6、时移性,四、卷积积分的性质,（一）运算性质,1、交换律,2、分配律,3、结合律,（二）微分积分性质,2、积分性,1、微分性,3、微积分性,证： （1）,说明：,（2）,如：,说明：,存在,存在,（3）,因为：,所以：,存在,同理：,如果：,或：,则：,性质3条件：,或：,则：,或：,则：,存在,若,都为有始信号，三个性质都成立,存在,五、卷积积分的计算,例1：f(t)=tU(t) ， h(t)=U(t)-U(t-2)，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。,1利用定义计算,=tU(t) *U(t)-U(t-2),2. 利用常用信号卷积与有关性质计算,解：,y(t)=f(t)*h(t),=tU(t) *U(t)- tU(t) *U(t-2),例2：求卷积积分y(t)=e-t U(t)*U(t)。,解：,3. 利用卷积积分表计算,4. 利用图解法计算,1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移） 4） f() h(t-) （相乘） 5）计算积分,5. 利用数值积分法计算,y(t)=e-t U(t)*U(t),=（1-e-t ）U(t),（教材65页表2-2）,卷积积分图解法:,当t-1,当-1t1,当t1,t-3-1 即1t2,当-1t-31 即2t4,当t-31 即t4,例1：若 h1(t) = U(t)， h2(t) = (t-T)， h3(t) = - (t)， 求h(t) 。,解：,例2： 求y(t)= f (t) * h(t)，其中 ：h (t) = U(t+1)-U (t-1)，,解：,解：,1. 列写KVL方程：,2. 冲激响应为：,例3:图示电路，求零状态响应i(t)。已知,图解法,例4：图示电路，已知 f(t)=e-t U(t)；求 t0时 uf(t)。,解：,例5：已知 f(t)=sintU(t)，,求h(t)。求反卷积,解：,例6：用图解法求y(t)=f(t)*h(t