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文档简介

,二、偏导数的定义及其计算方法,四、高阶偏导数,第三节、全微分和偏导数,三、可微的条件,一、全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,全增量的概念,有定义，,任意一点，,则称这两点的函数值之差,即,则该矩形面积,产生的误差为,上式右端包含两部分，,它是,另一部分是,当,一部分是,因此略去高阶无穷小，,则其差,小，,全微分。,定义,即,事实上,则,函数在该点连续。,二、偏导数,在研究一元函数时，从研究函数的变化率,引入了导数的概念，,它的变化率。,首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，,就是我们下面的偏导数概念。,由于多元函数不止一个自变量，,对于多元函数同样需要讨论,因此,定义,若,存在，,域内有定义，,相应地函数有增量,1. 偏导数的定义,记为,时，,同理可定义:,函数,记为,在点,处对,或,或,即,解,那么这个偏导数,如，设,求,记作,数，,记作,从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数,并不需要新的方法，,数时，,则,于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以,移植到多元函数的偏导数的计算上来。,故若令,（）,（）,求分界点、不连续点处的偏导数要用,有关偏导数的几点说明：,偏导数的概念可以推广到二元以上函,数，,如 在 处,定义求；,不能拆分;,（3）,解,解,解,由变量的对称性可得,证,例 5,解,按定义可知：,多元函数中在某点偏导数存在 连续。,一元函数中在某点可导 连续；,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,2、偏导数存在与连续的关系,解,同理可得：,。,如图,3、偏导数的几何意义,几何意义:,所截得的曲线,的斜率.,偏导数,就是曲面被平面,所截得的曲线,的斜率.,三、可微的条件,定理3.1 （必要条件）,为,证,总成立,同理可得,，有,此时,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,一元函数在某点的导数存在 微分存在,？,例如，,则,当 时，,多元函数的各偏导数存在并不能保证全,证,在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理,微分存在，,说明：,（依偏导数的连续性）,且当,时，,同理,记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,偏微分之和这件事,原理,称为二元函数的微分符合叠加,解,所求全微分,例1,计算函数,在点,处的全微分.,.,解,解,所求全微分,例4 试证函数,不连续，,思路：,讨论.,按有关定义讨论；对于偏导数需分,但偏导数在点,证,令,则,同理,不存在.,且,多元函数连续、可偏导、可微的关系,四、高阶偏导数,若这两个函数的偏导数存在，,的二阶偏导数。,则称它们是函数,定义：,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：,解,解,问题：,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等,？,解,这两个二阶混合偏导数必相等,则在该区域内，,证毕,也可写成,
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