《图形及37曲率》PPT课件.ppt

第一充分条件:,在,内可导,极值的必要条件:,若,是函数f(x)的极值,则,或,不存在.,极值的充分条件,则,不是极值,设函数 f(x)在,上连续,3.5内容回顾,第二充分条件:,二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,第三充分条件,则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 ,不是极值点 .,是拐点.,不是拐点.,(拐点的第二充分条件):,当 在区间I 上连续且只有一个极值点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大值点或最小值点 .,(小),闭区间上 连续函数的最值:,一、 曲线的渐近线,二、 函数图形的描绘,3.6 函数图形的描绘,第三章,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有铅直渐近线,一、 曲线的渐近线,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,( P75 题13),二、函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 作图,为 0 和不存在的点 ;,并考察其对称性及周期性 ;,(2) 画出渐近线,(3)描点:首先是表中的特殊点,(4)结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图,(必要时补充一些关键点),(1)画出坐标系(适当确定两轴的单位),例1. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),(拐点）,4),无渐近线,补充点(-1,2/3)、(3,2),5)描点作图,例2. 描绘函数,的图形.,解: 1) 定义域为,图形对称于 y 轴.,2),3),(极大),(拐点),(极大),(拐点),为水平渐近线,5) 作图,4) 求渐近线,例3.描绘函数,解,非奇非偶函数,且无对称性.,的图形.,3).列表,拐点,极值点,4) 求渐近线,补充点:,(-2,-3),5)作图：,.,D,例4. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,(无水平渐近线),水平渐近线 ;铅直渐近线;,内容小结,1. 曲线渐近线的求法,斜渐近线,按作图步骤进行,2. 函数图形的描绘,拐点为 ,凸区间是 ,曲线,的凹区间是 ,提示:,及,渐近线 .,单增区间 ,单减区间 .,0,+),(-,0,P76 14 (2); P169 2 ; 5,作业,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、 弧微分,二、 曲率及其计算公式,三、 曲率圆与曲率半径,3.7 平面曲线的曲率,第三章,一、 弧微分,设,在(a , b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长,(增函数),表示有向弧的值,则弧长微分公式为,或,若曲线由参数方程表示:,又s=s(x)是增函数,则,若曲线由极坐标方程表示:,代入参数方程时的弧微分公式得,请记住三个弧微分公式!,二、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,转角为,例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,有曲率近似计算公式,故曲率计算公式为,又,曲率K 的计算公式,二阶可导,设曲线弧,则由,两边微分得:,三、 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式 .,由此可得曲率中心公式,95年考研题：推导曲率中心的坐标公式,例2. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,显然, 椭圆在,处曲率最大 ,即曲率半径最小, 且为,则选择砂轮半径不超过,(想一想怎样求?),=0,内容小结,1. 弧长微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圆,曲率半径,曲率中心,(