2020高考数学一轮复习第二讲解题的指导思想—化归寻旧讲义理.docx

第二讲解题的指导思想化归寻旧在数学习题的解答过程中，除了第一讲中对信息加工的实践操作活动外，更重要的是大脑加工信息的思维活动，它的规律就是化归寻旧思想“寻”即“寻找”“联系”之意；“旧”指现有的知识经验也就是说信息加工的思维活动规律就是寻找问题的信息与现有的知识经验之间的联系，为加工信息的实践操作活动指明方向，即为化归活动确定方向常见的化归寻旧方法有以下几种：一、求同求异，寻旧之规律(一)求同寻旧求同寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表现为寻找习题信息与已知的某项知识经验的共性特别是寻找问题信息与已知的某个公式、某个定理或某个曾经解决过的问题等在表达形式上或内容上的共同点解题者在感知问题的信息时，眼睛如照相机一样将习题所呈现的信息符号拍摄下来，这些符号通过视觉神经传输到大脑，大脑对信息符号进行识别、分类，然后寻找信息符号在认知结构中的联络点，联络点一经找到，就说明习题信息与认知结构中的某项知识经验存在一定的联系例1已知，求证：sin .求同寻旧由于条件和结论都是三角等式，而结论信息是不含角2的三角等式，根据认知经验“条件中含有2的三角函数，而结论是不含2的三角函数，说明应当对条件信息进行加工处理，消去2”为了消去2的三角函数，联系到熟悉结构的经验sin22cos221，就会产生“先解出sin 2，cos 2，然后平方消去参数2”这一化归方案证明因为，所以2asin 2.因为，所以2acos 2(1a2)由22再化简得2(a21)(a21)sin 2(a21)2.因为a210，所以sin .反思归纳此题通过求同寻旧提出了消去角2的解题思路，显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物(二)求异寻旧求异寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的特征差异，以便化异为同，促使习题信息与认知结构的“网点”顺利“链接”求同寻旧与求异寻旧在解题过程中总是结伴而行一般来说，两个事物总是存在着区别和联系，相同之外有不同，不同之中有相同，没有完全相同和完全不同的两件事物寻旧就是寻找习题信息与认知结构中知识经验的联系和区别，特别要善于在不同之中找到一点共性，在相似之间发现其中的差异求同寻旧旨在寻找联系，从而为处理信息或问题解决提出假设方案；求异寻旧旨在发现差异，从而为信息加工指明方向，所以求同求异是不可分的例2如果方程组只有一组解，则实数k的值为_求同寻旧由于我们认知结构中有这样一项经验一元二次方程根的存在及判定，而这个问题不是一元二次方程，它是求方程组的一组解二者存在的共性都是与求解相关的问题求异寻旧认知经验是“一元二次方程”，而此问题是“二元二次对数方程组”，二者在元的个数和方程的个数上存在着差异，这就要求我们对原方程组进行“消元”处理，化异为同，即2(log3x)22log3klog3x(log3k)220.求异寻旧认知经验中的熟悉结构是“一元二次方程”，而方程是“对数方程”，二者在方程形式上存在着差异，这就要求我们对方程进行“换元”处理，化异为同解析因为log3xR，设log3xt(tR)，方程化为2t22tlog3k(log3k)220.要使原方程组只有一组解，只需方程只有一个根即可所以4(log3k)28(log3k)2160k9或k.答案9或反思领悟此题通过求异寻旧找到了“二元二次对数方程组只有一组解”与“一元二次方程只有一个根”的差异，提出了“消元”的解题思路，得到了.又通过求异寻旧找到了“对数方程”与“一元二次方程”的差异，提出了“换元”的解题思路，得到了熟悉的方程.显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物二、上游下游，寻旧之方向对于两项信息A，B，如果A是B的充分条件，我们称A是B的上游信息，B是A的下游信息我们称从上游信息向下游信息联想的思维活动为顺推寻旧，从下游信息向上游信息联想的思维活动为逆推寻旧(一)下游顺推信息法就是针对一项信息A，沿着熟悉结构中的某条线进行顺推，顺推得到的新信息是上一步信息的必要条件(或充要条件)，我们称这种寻旧为下游顺推信息法，如图所示例3已知函数f(x)x22x，若存在实数t，使不等式f(xt)x1对任意的x1，m(m1)恒成立，求实数m的取值范围解这个习题呈现的信息有2项：存在实数t，使不等式f(xt)x1对任意的x1，m(m1)恒成立；求实数m的取值范围此题信息很清晰，而信息虽然是一个不等式恒成立问题，但不等式的结构是隐性的，不直观、不清晰，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，首先对信息进行加工处理，使信息清晰，这样便于寻找与熟悉结构的联系将信息进行下游顺推转化为1：“存在实数t，使不等式(xt1)2x对任意的x1，m(m1)恒成立”，即转化为信息的充要条件；将信息1进行下游顺推转化为2：“存在实数t，使不等式|xt1|对任意的x1，m(m1)恒成立”，即转化为信息1的充要条件；将信息2进行下游顺推转化为3：“存在实数t，使不等式对任意的x1，m(m1)恒成立”，即转化为信息2的充要条件；将信息3进行下游顺推转化为4：“存在实数t，使不等式成立”，即转化为信息3的充要条件；将信息4进行下游顺推转化为5：“不等式m13”，即转化为信息4的必要条件；将信息5进行下游顺推转化为6：“1m4”，即转化为信息5的充要条件由此可见，此题的解答过程就是信息的下游顺推转化过程，一次次将信息向下游转化为它的充要条件，建立一条从信息到信息的解题通道例4已知a0，b0，a4，求的最小值解这个习题呈现的信息有3项：a0，b0；a，b之间的关系式为a4；求的最小值此题两个变量之间存在联系，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，一个自变量的问题是函数问题，求函数最小值有导数这个通法此题如果能消去一个自变量，就可以转化为求函数最小值问题于是可以采取以下两种消元处理信息的方法转化为信息的充要条件；将信息转化为求的最小值，这也是下游顺推信息法，即转化为信息的充要条件；此时，问题结论信息转化为“已知0b2，求F(b)的最小值”，这也是下游顺推信息法，即转化为结论信息的充要条件由题意知a4(0b2)，令F(b).因为F(b).显然，f(b)4和g(b)在(0,2)上单调递减且恒正所以u(b)3b2(4)2在(0,2)上单调递增列表如下：b(0,1)1(1,2)u(b)0F(b)0所以F(b)minF(1)4，即的最小值为4.(二)上游逆推信息法就是针对一项信息A，沿着熟悉结构的某条线进行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分条件(或充要条件)，我们称这种寻旧为上游逆推信息法，如图所示例5已知an2n1，求证：.证明这个习题呈现的信息有2项：an2n1；求证.信息是一个不等式，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，由于两边都是关于n的代数式，两边都是递增的，容易想到放缩法于是可以采取以下信息处理法由，将信息进行下游顺推转化为信息1：求证，即转化为信息的充要条件；联想一个公比为的等比数列，即，将信息1进行上游逆推转化为2：求证，即转化为信息1的充分条件；将信息2进行上游逆推转化为3：求证，即转化为信息2的充分条件；将信息3向下顺推转化为4：求证2n2(显然成立)，即转化为信息3的充要条件反思领悟显然，此题的解答过程就是对信息进行下游顺推信息和上游逆推信息相结合的过程，特别是将信息1向上逆推转化为2是解答此题的关键，这就是常说的“加强命题证明不等式”数学习题解答过程的思维规律是寻旧，究竟如何寻旧？就是寻找问题信息和熟悉结构之间的联系就是将问题的某项信息进行下游顺推或上游逆推，以此寻找新信息显然，