《差分方程模型》PPT课件.ppt

第五讲 差分方程模型,一 差分方程模型 二 差分方程解法 三 差分方程的平衡点及稳定性 四 建模案例 五 用Matlab求解差分方程问题,对一数列an，把数列中的an和前面的ai(0=in)关联起来的方程叫差分方程，也叫递推关系。 例：设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时从第三个月开始每月初产雌雄各一对一对小兔，新增小兔也按次规律繁殖。设第n月末共有Fn对兔子，试建立关于Fn的差分方程。 解：因为第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔等于前月末的兔子数，所以有 Fn=Fn-1+ Fn-2 ,F1=F2=1.返回,一 差分方程模型,1 常系数线性齐次差分方程的解法 形如an+b1an-1+b2an-2+bkan-k=0（1）(其中bi为常数，bk0,n=k.)的差分方程，称为an的k阶常系数线性齐次差分方程。 Xk+b1xk-1+bk=0为上述差分方程的特征方程，其根称为特征根。 解分为三种情况： （1） 单根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+bk=0有k个相异的特征根x1,x2,xk，则an=c1x1n+c2x2n+ckxkn是一个通解，其中ci为常数，由初始条件a0=u0,a1=u1,ak-1=uk-1可确定一个满足初始条件的特解。,二 差分方程解法,（2） 重根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+bk=0的相异特征根x1,x2,xt ，重数依次为m1,m2,mt, m1+m2+mt=k，则差分方程的通解为,（3） 共轭复根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+bk=0有一对共轭复根 , 和相异的k-2个实根x3,xk，则差分方程的通解为，,其中,常系数线性非齐次差分方程的解法 形如an+b1an-1+b2an-2+bkan-k=f(n)（1）(其中bi为常数，bk0,n=k,f(n) 0)的差分方程，称为an的k阶常系数线性非齐次差分方程。 非齐次差分方程的通解等于对应的齐次差分方程的通解加上非齐次差分方程的一个特解。,2.,返回,三、差分方程的平衡点及稳定性 1 一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数差分方程 xk+1+axk=b,k=0,1,2,（1） 的平衡点由x+ax=b解得，为 ，当 时，若xkx*，则x*是稳定的。 方程（1）的平衡点的稳定性问题可以通过变量代换转换为齐次方程 xk+1+axk=0,k=0,1,2 (2),的平衡点x*=0的稳定性问题。而对于方程（2），其解可以表示为 xk=(-a)kx0, k=1,2, (3) 所以当且仅当|a|1时，方程（2）（从而方程（1）的平衡点是稳定的。,对于n维向量x(k)和nn常数矩阵A构成的方程组 x(k+1)+Ax(k)=0 其平衡点稳定的条件是A的特征根i,I=1,2,，均有|i|1。,2 二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶线性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0 (4) 在平衡点x*=0的稳定性。为求（4）的通解，先写出他的特征方程 记它的根为1，2，则（4）的通解可以表示为 ，其中常数c1,c2由初始条件x0,x1确定，从而可知，当且仅当|1|1, |2|1时方程（4）的平衡点是稳定的。,3 一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性 考察一阶非线性差分方程xk+1=f(xk) (7) 的平衡点的稳定性。其平衡点x*由x=f(x)解出。将（7）的右端在x*点做泰勒展开，只取一次项，则（7）可以近似为： （8） x*也是（8）的平衡点。线性方程（8） 的平衡点的稳定性讨论同（1），而当|f(x*)|1时（7）与（8）的平衡点的稳定性相同。从而有： 当|f(x*)|1时，方程（7）的平衡点是不稳定的。,返回,四、建模案例-最优捕鱼策略 问题简介 生态学原理：对可再生资源的开发策略应为在可持续收获的前提下追求最大经济效益。 考虑4个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼的某鱼类。该鱼类在每年后4个月产卵繁殖。因而捕捞只能在前8个月进行。每年投入的捕捞能力不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。且只能捕捞3、4龄鱼，两个捕捞强度系数比为0.42：1。即为固定努力量捕捞。,鱼群数据为： (1) 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g）; (2) 1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为1.109105（个），3龄鱼为其一半； (3) 卵孵化的成活率为1.221011/（1.221011+n）(n为产卵总量)；,问题描述如下： 如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量； 合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.1，3.29（109条）。在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。,(1) 引入变量 X=(X1,X2,X3,X4)T 为鱼群数向量； -单位时间的自然死亡率； c-年存活率，c=1-0.8=0.2; k-单位时间4龄鱼的捕捞强度系数； -孵化卵成活率，=1.221011/（1.221011+n）； m-4龄鱼的平均产卵量，m为1.109105（个），3龄鱼为其一半。,(2)模型的建立 以1年为一个离散化的时间单位。 记年初鱼群为X(t)=(X1(t), X2(t), X3(t), X4(t)T, 下一年的鱼群数为X(t+1)=(X1(t+1), X2(t+1), X3(t+1), X4(t+1)T。显然，Xi(t+1)是Xi-1(t+1)到年底存活下来的鱼群数（i=1,2,3,i=4时X4(t+1)中还包括X4(t)中的存活数。X0(t)是指上一年由卵孵化而得到的1龄鱼），据此可建立如下差分方程： X2(t+1)=c X1(t); X3(t+1)= c X2(t); X4(t+1)=(c-k3)X3(t)+(c-k4)X4(t);,因为3、4龄鱼的捕捞强度系数比为0.42：1，所以有k3=0.42k4=0.42k,写成矩阵形式有： X(t+1)=PX(t); 其中 当4龄鱼的捕捞强度系数kc/0.42时，不论上一年鱼群数目如何，下一年鱼群将出现负数。说明模型存在问题，原因是离散化程度不够精细。,假设单位时间为一个月，定义月死亡率为，月存活率为（1-）， 月捕捞系数为k,则年存活率为（1-）12=c=0.2,从而=0.1255。 考虑一年中各月鱼群数目的分布，则有： 一个月的实际存活率：（1-k）； 两个月的实际存活率：（1-k）2； 三个月的实际存活率：（1-k）3； 。 八个月的实际存活率：（1-k）8； 九个月的实际存活率：（1-k）8（1-）； 。 一年后实际存活率：（1-k）8（1-）4。 同理可得第i月的捕捞率: （1-k）i-1k,i=1,2,8.,从而有： 一年后3龄鱼实际存活数：（1-k3）8（1-）4X3; 一年后4龄鱼实际存活数：（1-k4）8（1-）4X4; 该年3龄鱼总捕捞量： ， 该年4龄鱼总捕捞量： ， 该年3龄鱼产卵总量： ； 该年4龄鱼产卵总量： ；,因此矩阵应修正为： 关于鱼群的差分方程为：X(t+1)=PX(t) （1） 为实现持续捕获，（1）式必须存在稳定解：X(t)=PX(t)。 由差分方程稳定性理论知其充要条件为：对P的所有特征根i,均有|i|1。由此可求得最佳策略。,五 用Matlab求解差分方程问题,1、一阶线性常系数差分方程 2、高阶线性常系数差分方程,1、一阶线性常系数差分方程,濒危物种的自然演变和人工孵化 问题： Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。,模型建立,记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2 已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab实现,首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end,在command窗口里调用sqh函数,k=(0:20); y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3),利用plot 绘图观察数量变化趋势,可以用不同线型和颜色绘图 r g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型,plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画图,plot(k,y2,:) plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:) 用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在图上做标记。,人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化 Xk+1=aXk +5 ,a=1+r 如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令 Xk+1=aXk +b ,a=1+r,function x=fhsqh(n,r,b) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end,k=(0:20) ; %一个行向量 y1=(20,-0.0324,5); 也是一个行向量 round( k , y 1 ) 对k,y1四舍五入，但 是 不改变变量的值 plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以 也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。,2、高阶线性常系数差分方程,如果第k+1时段变量Xk+1不仅取决于第k时段变量Xk，而且与以前时段变量有关，就要用高阶差分方程来描述,一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。,模型及其求解,记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。 设c,a1,a2固定，b是变量，考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由 Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20 这样可以用matlab计算了,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,function x=zwfz(x0,n,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c; x1=x0; x2=p*x1; for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end,K=(3:20); y1=zwfz(100,21,0.18); y2=zwfz(100,21,0.19); y3=zwfz(100,21,0,20); round