维随机向量的分布(课件).ppt

Ch3 随机向量,例1,描述了任一个人的体形特征.,例2,可确定炮弹的弹着点.,任选一个人,设X表示其身高，,设任一炮弹弹着点,纵坐标为Y,为X,Y表示其体重,的横坐标,例3,设 分别表示,任一钢块的长、宽、高,描述了任一,钢块的形状.,在概率论中,如果试验的每个基本结果,都对应三个有序实数,则称为三维随机向量;,一般地,如果试验的,都对,应一个实数,则为一维随机变量;,都对应一对有序实数,则称为二维随机向量;,如果试验的每个基本结果,如果试验的每个基本结果,都对应 个,则称为 维随机向量.,有序实数,每一个基本结果,3.1 随机向量的分布,定义3.1,例如,则,是三维随机向量.,任一考生的语、数、外,一、随机向量及其分布,是定义在概率空间,维随机向量.,一个人的身高和体重,是二维随机向量.,设 分别表示,则,设 分别表示,任一钢块的长、宽、高,设 分别表示,及综合的考试分数,是四维随机向量.,设,上的n个随机变量，,则称,是,上的一个,定义3.2,称为随机向量,设,是n维随机向量,语、数、英及综合,的联合分布函数.,n元函数,的分布函数.,或,n个随机变量,例如,任一考生的,设 分别表示,的考试分数,是四维随机向量.,例如,当 时,二维随机向量,的分布函数为,定义3.2,称为随机向量,设,是n维随机向量,n元函数,的分布函数.,联合分布函数,具有性质：,（1）,（2）,关于,均单调不减.,对任意固定的,当 时，,有,对任意固定的,当 时，,有,（3）,关于,均右连续.,即对任意实数,（4）,记,记,记,记,对任意固定的,当 时，,有,证,当 时，,关于y单调不减.,如果 的分布函数,已知，,则,随机变量,随机变量,称为分布函数,关于X的边缘分布函数.,称为分布函数,关于Y的边缘分布函数.,的分布函数为：,的分布函数为：,二、离散型随机向量,定义3.3,的全部取值,如果二维随机向量,或至多可列个,为,则随机向量,为有限个,的概率分布,离散型的.,例,任取4个,袋中装有1个红球,2个白球,3个黑球.,从中任,和 分别表示4球中,红球及白球的个数.,取4个,的分布为:,Y的分布为:,称为关于Y的,称为关于 的边缘分布.,边缘分布.,任取4个,1. 联合分布,定义3.4,取这些值的概率为,联合分布常用表格表示:,联合分布具有性质:,设,是二维离散型随机向量,的取值为,联合概率分布.,称上式为随机向量,可能,的概率分布，,或X和Y的,非负性,归一性,2. 边缘分布,的概率分布为:,设,随机变量X的分布为:,记为,记为,随机变量X的分布为:,记为,记为,记为,随机变量X的分布为:,记为,记为,记为,称为关于X的边缘概率分布.,记为,随机变量Y的分布为:,记为,随机变量Y的分布为:,记为,随机变量Y的分布为:,记为,称为关于Y的边缘概率分布.,例,六个乒乓球中,有4个是新球，,第一次取出两个,X，Y分别表示,写出(X,Y)的分布.,解,用完后放回，,第二次再取出两个,第一次和第二次,取到的新球数目.,关于X和Y的边缘分布:,可统一表示为,求以下概率：,例,把一枚硬币连掷三次，,X表示三次中正面出现,的次数，,Y表示三次中,出现正面的次数,的次数之差的绝对值，,求(X，Y)的联合概率分布.,解,时,必有,时,必有,时,必有,时,必有,与出现反面,三、连续型随机向量,1.密度函数,的概率密度函数,定义3.5,设,是二维随机向量,其分布函数,为,如果存在非负可积的,二元函数,使得对于任意实数对,有,则称(X,Y)为,称为(X，Y)的,或X与Y 的联合密度函数.,简称,密度函数.,记为,二维连续型随机向量,概率密度函数,定义3.5,设,是二维随机向量,其分布函数,为,如果存在非负可积的,二元函数,使得对于任意实数对,有,则称(X,Y)为二维连续型随机向量,称为(X，Y)的概率密度函数,或X与Y的联合密度函数.,简称,密度函数.,记为,密度函数具有性质:,对平面上任意,有,特殊地,对平面上的任一矩形区域,有,（非负性）,（归一性）,可度量的区域D,例,解,其中 为平面上的,一个可度量的有界区域,其,所以,确定C的值.,面积为S(G),设二维随机向量,定义,如果二维随机向量,的概率密度为,其中G为平面上的,一个可度量的有界区域,G的面积,则称随机向量,此时对平面上任意,可度量的区域D,均匀分布,对应几何概率.,是,服从G上的均匀分布.,G,例,设随机向量,的密度函数为,其它,（1）求k；,解,例,其它,（2）求概率,解,例,求(1),的联合分布函数;,解,随机向量,解,例,求(2),随机向量（X，Y）,落入以点,为顶点的正方形,设随机向量,区域的概率.,2.边缘密度函数,设连续型随机向量,的联合密度为,则,是连续型随机变量，,其密度函数为,证,由密度函数的定义，,另一方面，,称为密度函数,关于X的边缘密度函数,由联合密度函数的定义,例,求边缘密度.,设随机向量,服从,上的均匀分布,即,其它,例 设,求边缘密度.,所以,其它,解,其它,X服从0,2上的均匀分布.,例,求边缘密度.,所以,其它,解,其它,Y服从0,2上的均匀分布.,例,设随机向量,服从,上的,即,其它,求边缘密度.,均匀分布,例,其它,解,其它,X不服从均匀分布.,求边缘密度.,求边缘密度.,解,其它,Y不服从均匀分布.,其它,四、二维正态分布,定义,则称(X,Y)服从,其中参数,设(X,Y)是二维随机向量,如果其概率密度,函数为,的二维正态,记为,均为常数,且,参数为,分布,定理,二维正态分布,的边缘分布,为一维正态分布.,即若,则,即,二维正态分布中的参数,分别是X和Y的,分别是X和Y的方差.,数学期望；,定理,若二维正态分布,中,则( X,Y )的联合密度函数为,两个边缘密度函数的,乘积.,证,=0时，,结论:,1.二维正态分布,的边缘分布,是一维正态分布.,即若,则,不同的二维正态分布,可以有相同的边缘分布.,如,(X,Y)和(,),是两个不同的二维正态分布,但它们的边缘分布:,相同.,故由边缘分布,不能唯一确定联合分布.,