统计学复习大纲本科生.ppt

统计学复习,2012.06,第一章 统计及统计数据,统计学：收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学 描述统计：研究数据收集、整理和描述的统计学方法 推断统计：研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法 变量、变量的分类： 数值变量、分类变量和顺序变量 抽样方法： 简单随机抽样，分层抽样，系统抽样，整群抽样。,第二章 数据的图表表示,定性数据的图表表示： 频数分布表，条形图，帕累托图，饼图，环形图。 定量数据的图表表示： 频数分布表，直方图，茎叶图，箱线图，散点图，雷达图,第 三章 用统计量描述数据,水平的度量：平均数、中位数、分位数、众数 差异的度量：极差、四分位差、方差（样本方差，总体方差）、标准差、离散系数,第四章 概率分布,概率:对事件发生的可能性大小的度量 离散型概率分布： 二项分布:一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败”一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p对每次试验都是相同的 ,试验是相互独立的，并可以重复进行n次 。重复进行 n 次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为XB(n，p)。,泊松分布： 连续型概率分布：正态分布,第四章 概率分布,c2- 分布：对于n个标准正态随机变量y1 ,y2 ,yn，则随机变量 称为具有n个自由度的2分布，记为,由正态分布导出的几个重要分布：c2- 分布， t-分布， F-分布,t-分布,提出者是William Gosset，也被称为学生分布(students t) t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,x,t 分布与标准正态分布的比较,t 分布,标准正态分布,t,不同自由度的t分布,标准正态分布,t (df = 13),t (df = 5),z,若随机变量X N(0,1)，Yc2 (n)，则,F分布,设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为,第四章 概率分布,参数、统计量的概念,第四章 概率分布,统计量的分布： 样本均值的分布： 样本比例的分布： 样本方差的分布：,中心极限定理 (central limit theorem),从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,大样本，不管总体分布是否正态，总体方差s2已知，,大样本，不管总体分布是否正态，总体方差s2未知，,样本均值的分布,小样本，总体分布正态，总体方差s2已知，,小样本，总体分布正态，总体方差s2未知，,样本比例的分布： 当样本容量很大时（np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10） ，样本比例的抽样分布可用正态分布近似，即,第四章 概率分布,样本方差的分布：,对于来自正态总体的简单随机样本，则,第五章 参数估计,参数估计：用样本统计量去估计总体的参数 点估计：用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值 区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 评价估计量的标准：无偏、有效、一致 置信水平：将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度, -1.96 x,95%,构造m区间估计的原理：, +1.96 x,构造的m估计区间为：,称为置信水平。,称为95%置信水平下的置信区间,Z /2,1- ,0,区间估计的原理,-Z /2,/2,/2,Z=,构造的m 的(1 - 置信水平下的置信区间为：,由,第五章 参数估计,一个总体参数的区间估计 总体均值的区间估计 总体比例的区间估计 总体方差的区间估计,总体均值的区间估计,总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表达为 注：具体分位数为多少，要看样本均值服从的分布。此时要考虑以下三个方面：大样本/小样本；总体是否正态；总体方差是否已知。,样本均值分位数值样本均值的标准误差,总体比例的区间估计,1. 假定条件 总体服从二项分布；np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10(也有些书上说大于5) 使用正态分布统计量 z,总体比例在1-置信水平下的置信区间为,样本比例分位数值样本比例的标准误差,2. 由,总体方差的区间估计 （总体服从正态分布）,1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 总体方差 2 的点估计量为s2,且,总体方差在1- 置信水平下的置信区间为,3. 由,第五章 参数估计,样本量的确定 估计总体均值时样本量的确定 估计总体比例时样本量的确定,其中：,其中：,第 六 章 假设检验,假设检验：先对总体的参数(或分布形式)提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的统计方法 原假设：又称“0假设”，研究者想收集证据予以反对的假设，用H0表示。所表达的含义总是指参数没有变化或变量之间没有关系 备择假设：也称“研究假设”,研究者想收集证据予以支持的假设，用H1或Ha表示， 所表达的含义是总体参数发生了变化或变量之间有某种关系,第 六 章 假设检验,假设检验逻辑上运用反证法，统计上依据小概率原理 备择假设通常用于表达研究者自己倾向于支持的看法，然后就是想办法收集证据拒绝原假设，以支持备择假设 小概率是在一次试验中，一个几乎不可能发生的事件发生的概率（一般认为小于0.05） 在一次试验中小概率事件一旦发生，我们就有理由拒绝原假设,双侧检验与单侧检验 (假设的形式),以总体均值的检验为例,假设检验的步骤,1.提出原假设与备择假设 2.确定检验统计量 3.确定显著性水平 4.用统计量的值或者P值做决策(此步骤需要知道统计量的分布，需要确定是双侧检验还是单侧检验),双侧检验,左侧检验,Z,拒绝H0,0,临界值,计算出的样本统计量,P 值,右侧检验,Z,拒绝H0,0,计算出的样本统计量,临界值,P 值,第 六 章 假设检验,一个总体参数的检验 总体均值的检验 总体比例的检验 总体方差的检验,一个总体均值的检验 (作出判断),样本量n,总体比例检验,假定条件 总体服从二项分布 可用正态分布来近似(大样本) 检验的 z 统计量, 0为假设的总体比例,总体方差的检验 ( 2检验),检验一个总体的方差或标准差 假设总体近似服从正态分布 使用 2分布 检验统计量,假设的总体方差,两个总体均值之差的检验 (方法总结),两类错误与显著性水平,第类错误(错误) 原假设为正确时拒绝原假设 第类错误的概率记为，被称为显著性水平 2. 第类错误(错误) 原假设为错误时未拒绝原假设 第类错误的概率记为(Beta),H0为真,H1为真,接受H0,拒绝H0,第 八章 一元线性回归,相关关系 用散点图描述相关关系 用相关系数度量关系强度,回归分析： 重点考察一个特定的变量(因变量)，而把其他变量(自变量)看作是影响这一变量的因素，并通过适当的数学模型将变量间的关系表达出来 利用样本数据建立模型的估计方程 对模型进行显著性检验 进而通过一个或几个自变量的取值来估计或预测因变量的取值,第 八章 一元线性回归,一元线性回归,最小二乘估计,Karl Gauss的最小化图,Karl Gauss的最小化图,参数的最小二乘估计 ( 和 的计算公式), 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下,误差分解图,x,y,误差平方和的分解 (三个平方和的意义),总平方和(SSTtotal sum of squares) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总误差 回归平方和(SSRsum of squares of regression) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和 残差平方和(SSEsum of squares of error) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数R2 (coefficient of determination),回归平方和占总误差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度，是度量拟合优度的统计量 取值范围在 0 , 1 之间 R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差 决定系数平方根等于相关系数,第十章 时间序列,时间序列：按时间顺序记录的一组数据 时间序列的成分：趋势、季节变动、随机性 平稳序列用平滑法预测（简单平均法、移动平均法、指数平滑法） 趋势预测