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文档简介

第二节 数列的极限,一、数列极限的概念 二、收敛数列的性质 三、小结,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.割圆术：,播放,刘徽,一、数列极限的概念,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2.截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,播放,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,定义1 设有数列 ，如果 时， 无限接近于某个确定的常数 ，那么就称数列 收敛，称 是数列 的极限。或者称数列 收敛于 ，记为,如果这样的常数 不存在，就称数列 没有极限，或者称数列 发散，习惯上也常常表达为 不存在,例1 给出数列的一般项如下，观察它们的变化趋势，判断哪些数列收敛，哪些数列发散；如果收敛，指出其极限：,解 （1）因为 ，而当 时， 无限接近于0，从而 无限接近于1，所以,（2）因为,当 时， 无限接近于 。所以,（3）因为数列是 2，0，2，0，, ,在 时， 始终轮流地取得值2与0，并不接近于任何一个确定的常数，所以,（4） 因为当 时，这个数列的一般项 的值无限地增大，也不接近于任何一个确定的常数，所以,1.唯一性,定理1 每个收敛的数列只有一个极限.,二、收敛数列的性质,2.有界性,例如,有界;,无界.,定理2 收敛的数列必定有界.,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例2,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3.收敛数列的保号性,定理3（收敛数列的保号性） 如果 (或 N，都有,这个性质的一个直接推论是：如果从某一项起数列 的各项都非负（或都非正），且 ，那么,三、小结,数列:研究其变
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