1-3章习题与解答习题课后

1 第 1 章习题及解答 1-1 试举出日常生活中所见到的开环控制系统和闭环控制系统各一例， 并分别说明其工 作原理。 答： 答： 开环控制系统与闭环控制系统的差别在于有没有将输出量反馈到输入端的反馈通道。 家庭空调的温度控制就是一个闭环控制系统，其原理是当室内温度升高或降低时，温度 传感器将检测到的实际温度反馈到系统输入端与参考输入给定的期望温度比较求得偏差，温 度控制器根据偏差信号产生控制作用控制压缩机制冷量，从而维持室温在期望值附近。 在要求不高的场合，有些简单的传送带系统是由电动机带动的开环控制系统。工作原理 很简单，只需闭合电源开关，则电动机带动传送带运行，传送带上负载变化会引起传送速度 变化。 1-2 试说明开环控制和闭环控制的优缺点。 答： 答： 开环控制系统的控制精度主要取决于系统本身参数的稳定程度，没有抵抗外部干 扰的能力，因此，在实际工作环境中，难以达到很高的控制精度。开环控制系统的优 点是结构简单，成本较低，缺点是抗扰性能差。对于参数稳定的系统，在外部干扰较弱或控 制精度要求不高的场合，开环控制系统仍被大量使用。 闭环控制系统利用反馈信号得到的偏差来产生控制作用，也称为反馈控制系统。 这种基于偏差的闭环控制系统具有较强的抵抗外部和内部扰动的能力，并使其对内部参数 的变化没有开环控制系统那么敏感，换句话说，要达到较高的控制精度，闭环控制系统对其 内部参数的精度要求没有开环控制系统那么高。由于增加了反馈元件和比较元件等，闭环控 制系统的结构相对复杂，成本也有所增加，特别地，当控制装置的参数配合不当时，可能会 出现系统内部信号剧烈振荡，甚至发散导致系统不稳定而无法工作的情况。闭环控制系统的 稳定性问题是开环控制系统没有的独特现象。 闭环控制系统的优点：具有很强的自动纠偏能力和较高的控制精度；缺点：由于采用 了反馈装置，设备增多，结构复杂，成本增加，同时存在稳定性问题。 闭环控制系统具有的自动纠偏能力和较高的控制精度是开环控制系统无法替代的， 因而在控制工程实际中获得了最广泛的应用。 1-3 试指出一般反馈控制系统的主要组成有哪些， 并说明传感器在反馈控制系统中的作 用是什么。 答： 答： 反馈控制系统的主要组成包括传感器、控制器、执行机构和被控对象。传感器的功能是 完成对系统输出的测量，并对被测量进行必要的量纲变换形成反馈信号。 1-4 试判断本章图 1-5 所示的直流电动机转速闭环控制系统是有差系统还是无差 系统，并说明理由。 答：答：直流电动机转速闭环控制系统是有差系统。 理由：图 1-5 所示系统当受到某些持续的干扰引起转速偏离期望的转速时，测速 发电机将实际转速变化量反馈给输入端进行比较，按偏差通过电压放大器和功率放大 器产生相应的电枢电压变化量来调节电动机转速恢复到期望值。对于持续的干扰，维 持上述过程的前提是必须始终有误差存在，因此，图 1-5 所示直流电动机转速闭环控制 系统是有差系统。 1-5 图 1-16 图所示为一个电动机速度控制系统的原理图。现有五个接线端 1、2、3、4 2 和 5，试将系统连接成负反馈系统，并画出系统的方块图。 放大器 功率 放大器 电压 负载 1 2 3 4 5 图 1-16 习题 1-5 图 答：答：接线端 1 接地，2 与 4 相连，5 接地，3 不需连接。 电压放大器功率放大器电动机 干扰输入 测速发电机 参考输入输出量 1-6 试指出本章图 1-10 所示的蒸汽机转速控制系统中的被控对象、被控变量、控制变 量、给定量、反馈量以及可能的干扰量，并画出系统的方块图。 答： 答： 被控对象：蒸汽机 被控量：蒸汽机转速 控制量：经过阀门的蒸汽流量 给定量：套筒内平衡弹簧反弹力设置的套筒位置高度 反馈量：飞锤和套筒机构带动套筒移动的位置高度，套筒内弹簧与飞锤和套筒机构组成 套筒位置的比较环节 干扰量：如，负载扰动转矩 蒸汽机 c M干扰转矩 飞锤和套筒机构 实际套筒位置 套筒位置 弹簧设定 n蒸汽机转速 调节杠杆蒸汽阀 1-7 教师教学与学生学习之间的过程本质上是一个系统误差不断缩小的反馈过 程。试以课程教学为例，确定反馈系统中的四个功能环节，被控对象、被控量、控制量、给 定量、反馈量以及可能的干扰量，并画出系统的方块图。 答： 答： 被控对象：学生 控制器：教师 3 执行机构：课室（教具）+实验室（实验设备） 传感器：考试 被控量：学生对所学课程知识的掌握程度 控制量：教师的教学活动（讲课，辅导，习题，实验等） 给定量：课程要求学生对各章节掌握的程度（熟练掌握/掌握/了解），可增加变 换环节将要求学生对课程的掌握程度转换为考试成绩要求得分数 反馈量：学生对课程知识的实际掌握程度，测量环节可以是考试环节，即通过考 试来检测学生对课程的总体掌握程度并变换为考试成绩得分数 干扰量：如，学习过程可能出现的各种问题或者导致学生考试成绩不能反映其对 知识的真实掌握程度的意外情况等等 教师课室和实验室学生 考试 量纲换算 要求 课程 试分数 期望考 偏差方法 教学 掌握程度 课程知识 活动 教学 实际考试分数 干扰 1-8 图 1-17 所示为一个调速系统的原理图。要求： （1）分析系统的工作原理，指出被 控对象、控制器、执行机构和传感器，指出系统的输出信号、参考输入信号，反馈信号，偏 差信号、控制器输出信号、执行机构输出信号以及可能的干扰信号，试给出每一种信号的物 理单位，并画出系统的方块图； （2）判断说明系统是有差的还是无差的。 1 N 2 N 放大器 功率 负载 测速发电机 执行电动机 发电机 电动机 减速器 a u f u r u 1 u n 图 1-17 习题 1-8 图 答： 答： （1）工作原理：系统在某个给定电压 r u相对应的转速n下运行，当受到干扰引起速度 偏离时，经过测速发电机反馈得到电压 f u的变化量，从而产生偏差信号 e u的变化量，偏差信 号的变化量通过功率放大器使电动机的转动发生相应的变化，从而通过调节可调电阻控制发 电机输出电压，由此调节电动机转速维持在期望的转速附近。 被控对象：电动机 控制器：功率放大器 执行机构：执行电动机+减速器+可调电位器+发电机 传感器：测速发电机 系统的输出信号：电动机的转速n（r/s） 4 参考输入信号：给定电压 r u（V） 反馈信号:测速发电机的反馈电压 f u（V）; 偏差信号:给定电压与反馈电压的差 fre uuu（V） 控制器输出信号：放大器的输出电压 1 u（V） 执行机构输出信号：发电机输出电压 a u（V） ； 干扰输入信号：负载扰动转矩（Nm） ，等 系统的方块图 执行电动机功率放大器 测速发电机 发电机 干扰输入 减速器可调电阻器电动机 n电动机转速 r u e u 1 u a u f u （2）当出现持续的干扰时，只要偏差存在，则执行电动机继续转动，通过调节可调 电阻控制发电机输出电压，进而调节电动机转速直到消除误差位置。由此可判断，该调速系 统是无差系统。 1-9 图 1-18 为采用热电偶测量炉温的工业加热炉炉温自动控制系统的工作原理图。试 分析系统的工作原理，指出被控对象、控制器、执行机构和传感器，指出系统的输出信号、 参考输入信号，反馈信号，偏差信号、控制器输出信号、执行机构输出信号以及可能的干扰 信号，试给出每一种信号的物理单位，最后画出系统的方块图。 调节器 电动 转换器 气电/ 原料 喷嘴 自然空气 自然空气 温度变送器 给定 压缩空气气源 燃气 加热原料 气动信号 气动调节阀 TT 图 1-18 习题 1-9 图 答： 答： 工作原理：系统通过温度变送器将检测的实际炉内温度转换为标准信号并进行量纲换算 后传送给电动调节器，电动调节器将收到的炉内温度检测信号与给定信号相比较产生偏差信 号， 然后电动调节器按偏差产生控制信号， 控制信号经过电/气转换器产生气动标准信号去调 节气动调节阀的开度，以改变燃气流量的方式来维持炉内温度在给定温度值附近。 被控对象：工业加热炉 控制器：电动调节器 执行机构：电气转换器+气动调节阀 传感器：温度变送器 系统的输出信号：加热炉炉内温度 T（ oC） 5 参考输入信号：电动调节器的给定电压（V）或电流（mA） 反馈信号：温度变送器输出信号，电压（V）或电流（mA） 偏差信号：偏差信号=参考输入信号-反馈信号，电压（V）或电流（mA） 电动调节器输出信号：标准电压信号： 4-20mA 或者 1-5VDC 执行机构输出信号：燃气流量（Nm 3/hr） ； 干扰信号：燃气阀前压力扰动（kg/cm 2） ，原料流量扰动（m3/hr） ，等 系统的方块图： 电动调节器电气转换器气动调节阀 温度变送器 给定信号 加热炉 炉内温度 压力扰动 燃气阀前 量扰动 原料流 1-10 图 1-19 所示为一个流量恒值控制系统。试分析系统的工作原理，指出被控对象、 控制器、执行机构和传感器，指出系统的输出信号、参考输入信号，反馈信号，偏差信号、 控制器输出信号、执行机构输出信号以及可能的干扰信号，并画出系统的方块图。 调节器 电动 转换器 气电/ 流量变送器 给定 压缩空气气源 燃气 气动信号 气动调节阀 FT 流量检测点 图 1-19 习题 1-10 图 答： 答： 工作原理：系统通过流量变送器将检测的实际燃气流量转换为标准信号并进行量纲换算 后传送给电动调节器，电动调节器将收到的流量检测信号与给定信号相比较产生偏差信号， 然后电动调节器按偏差产生控制信号， 控制信号经过电/气转换器产生气动标准信号去调节气 动调节阀的开度，从而改变燃气流量来维持流量在给定值附近。 被控对象：调节阀后到流量检测点之间的管道 控制器：电动调节器 执行机构：电气转换器+气动调节阀 传感器：流量变送器 系统的输出信号：燃气流量（Nm 3/hr） 参考输入信号：电动调节器的给定电压（V）或电流（mA） 反馈信号：流量变送器的输出信号，电压（V）或电流（mA） 偏差信号：偏差信号=参考输入信号-反馈信号，电压（V）或电流（mA） 电动调节器的输出信号：标准信号：4-20mA 或者 1-5VDC 执行机构输出信号：燃气流量（Nm 3/hr） ； 干扰信号：燃气阀前压力扰动（kg/cm 2） ，等 6 系统的方块图： 燃气流量 电动调节器电气转换器气动调节阀 流量变送器 给定信号 管道 压力扰动 燃气阀前 1-11 图 1-20 是船舶随动舵控制系统的原理图。 试分析系统的工作原理， 指出系统的输 出信号、参考输入信号，反馈信号，偏差信号、控制器输出信号、执行机构输出信号以及可 能的干扰信号，并画出系统的方块图。 a u 放大器 功率 放大器 电压 1 u e u 电位器组 输入轴 1 PR 2 PR r u f u 输出轴 o o i 舵叶 1 N 2 N 减速器 图 1-20 习题 1-11 图 答： 答： 工作原理：图 1-20 中电位器组 1 PR和 2 PR并联跨接到电源的两端，其滑臂分别与输入轴 和输出轴相联，组成角位置的给定元件和测量元件。输入轴由驾驶盘操纵，而输出轴由直流 电动机经减速后带动。控制任务就是使舵叶的偏转角 o 快速跟随驾驶盘的角位置 i ，角位置 偏差 oie 经电位器组 1 PR和 2 PR转换为偏差电压 e u。 基于偏差电压 e u电压放大器和功 率放大器产生控制作用驱动电动机按要求转动，再经减速器变换带动舵叶偏转。 系统的输出信号：舵叶的偏转角度 o 参考输入信号：驾驶盘所转过的角度 i 反馈信号：与舵叶的偏转角度 o 对应的电位器 2 PR的输出电压 偏差信号：与驾驶盘偏转角度 i 对应的电位器 1 PR的输出电压与 2 PR的输出电压之差 控制器输出信号：电压放大器输出电压 1 u 执行机构输出信号：功率放大器输出电压 a u 干扰信号：风浪对舵叶冲击经减速器施加到电动机上的扰动转矩 功率放大器 c M干扰转矩 2 P电位器 电动机 1 P电位器电压放大器减速器 o i f u r u 船舶随动控制系统的方块图 7 1-12 在习题 1-11 中的角位置随动系统中， 由于采用了电位器组作为比较环节， 这通 常会使角度的跟踪范围小于 360 度，而在需要跟踪大于 360 度角度或者任意角度的大范围 的应用场合，如：火炮和雷达随动系统等，跟踪角度限制在 360 度之内难以满足应用需求。 图 1-21 所示的是采用自整角机作为角度测量的随动系统原理图， 该系统跟踪角度不受 360 度限制。在此系统中，自整角机运行于变压器状态，自整角发送机的转子和接收机的转子 分别与输入轴和输出轴相联。参考输入 i 由手动手轮输入，电动机经过减速带动旋转负载 和自整角接收机的转子作反馈联接产生角偏差 oie ，由此产生自整角变压器的输出 e u，见图 1-21（a） 。试分析系统的工作原理，指出被控对象、控制器、执行机构和传感器， 指出系统的输出信号、参考输入信号，反馈信号，偏差信号、控制器输出信号、执行机构 输出信号以及可能的干扰信号，并画出系统的方块图。 i e u 自整角变压器 e o （a） 整流器 相敏 校正器 放大器 功率 旋转负载 发送机接收机 输入轴 手轮 i 输出轴 o e u 1 N 2 N 减速器 （b） 图 1-21 习题 1-12 图 答： 答： 工作原理：在此系统中，自整角机运行于变压器状态，自整角发送机的转子和接收机的 转子分别与输入轴和输出轴相联。参考输入 i 由手动手轮输入，电动机经过减速带动旋转负 载和自整角接收机的转子作反馈联接产生角偏差 oie ，由此产生自整角变压器的输出 e u；然后经相敏整流器、校正器和功率放大器组成的控制器控制电动机转动。 被控对象：电动机+减速器 控制器：相敏整流器+校正器 执行机构：功率放大器 传感器：自整角接收机转子 系统的输出信号：输出轴旋转的圈数 参考输入信号：手轮旋转的圈数 反馈信号：自整角接收机转子旋转的圈数 偏差信号：手轮旋转的圈数-自整角接收机转子旋转的圈数 控制器输出信号：相敏整流器和校正器组成的控制器输出电压 执行机构输出信号：功率放大器输出电压 8 干扰信号：扰动转矩等 相敏整流器自整角变压器 自整角机的接收机 校正器功率放大器 e e u 电动机减速器 负载旋转角度 i o 扰动转矩 第 2 章习题及解答 2-1 求图 2-41 所示的RC电路和运算放大器电路的传递函数)()(sUsU io 。 i u o u 1 C 1 R 2 C 2 R i u o u 1 C 2 C L （a） （b） 1 R 2 R 1 C 3 R 2 C i u o u 1 C i u 1 R 2 R 2 C o u （c） （d） 图 2-41 习题 2-1 图 解： 解： (a) 由电路电压分配关系得传递函数： 1)( 1)( ) 1( ) 1)(1( 1 1 1 1 1 1 1 1 )( )( )(G 222111 2 2121 2211 2 2121 112 211122 2 22 11 1 2 22 2 22 1 1 1 1 2 2 2 2 0 sCRCRCRsCCRR sCRCRsCCRR sCRsC sCRsCRsCR sC sCR sCR R sC sCR sC sCR sC R sC R sC R sC R sU sU s i (b) 同上由电路电压分配关系得： 9 传递函数 2 1 2 21 1 21 20 11 1 )( )( )(G CCsCLC C Ls sCsC sC sU sU s i (c) 设 3 U为 2 C两端电压，由基尔霍夫电流定律则有： 3 12 11 12 3 1 03 12 231213 323 12 13 3 03 2 3 1 2 3 1 0 1 1 ) 1)(1( ) 1 1 ( 0 11 U sCR sCR U sCR U R U UU sCR sCRsCRsCR UsCR sCR sCR R UU sC U sC R U i i 传递函数: sCR sCRCRCRsCCRR sCR sCR sCR sCRsCRsCR sU sU s i11 132312 2 2132 12 11 12 231213 0 1)( 1 1 ) 1)(1( )( )( )(G （d）同上由基尔霍夫电流定律有方程： 1 1 1 1 )0( 1 1 1 11 1 2 22 0 22 02 11 1 3 2 2 03 1 1 1 1 3 sCR R sC sCR U U sCR sUC sCR R U U sC R UU sC R sC R UU i ii 传递函数 sCR sCRCRsCCRR sU sU s i21 2211 2 21210 1)( )( )( )(G 2-2 求图 2-42 所示的两组质量-弹簧-阻尼器系统的传递函数，其中，设在系统（a）中 质点的质量可忽略，以质点A和B的位移)(tyi和)(tyo分别作为输入量和输出量，而在系统 （b）中，以力)(tF和位移)(tyo分别作为为输入量和输出量。 1 f 1 k )(tyi )(tyo A B 2 f 2 k M 1 f 2 f )(tF )(tyo k （a） （b） 图 2-42 习题 2-2 图 10 解：解： （a）在阻尼器 2 f和弹簧 2 k间取辅助点C，忽略质点质量,设其位移为y( ) t如下图： 1 f 1 k )(tyi )(tyo A B 2 f 2 k C )(ty 则在B点有受力平衡方程： )()()()()()( 02101 tytyftytyktytyf oii (1） 在辅助点 C C 有平衡方程： )()()( 022 tytyftyk （2） 以初始条件为零，将上面两方程（1） （2）拉式变换得： )()()()()()( 221111 ssYfssYfsYksYkssYfssYf ooioi （3） )()()( 22 ssYssYfsYk o （4） 由（3）得：)()()()()( 212111 ssYfsYksfsfsYksf oi （5） 由 （ 4 ） 得 ：)()()( 222 ssYfsYksf o , 进 一 步 化 简 得 ：)()( 22 2 sY ksf sf sY o , 将 其 代入（5）得：)()()()()( 22 2 212111 sY ksf sf sfsYksfsfsYksf ooi ，化简得： )()()()( 22 2 212111 sY ksf sf sfksfsfsYksf oi 由此得： 21221221 2 21 211221 2 21 22 222121 2211 22 2 2121 11 )( )( )( )( )( )( kksfkfkfksff kkskfkfsff sfksfksfsf ksfksf ksf sf sfksfsf ksf sY sY i o 上下各除以 21k k得传递函数： 1)( 1)( )( )( )( 1 2 2 2 1 12 21 21 2 2 1 12 21 21 s k f k f k f s kk ff s k f k f s kk ff sY sY sG i o (b) 对M作受力分析： )()()()()( 21 tyMtyftyftkytF oooo 以初始条件为零，拉式变换得： 11 )()()()()( 2 21 sYMsssYfssYfskYsF oooo =传递函数 ksffMssF sY sG o )( 1 )( )( )( 21 2 2-3 设齿轮系统如图 2-43 所示， 1 N和 2 N分别为齿轮 1 和齿轮 2 的齿数， 1 J和 2 J为齿 轮轴的转动惯量， 1 和 2 为各齿轮轴的角位移， 1 和 2 为齿轮轴的粘性摩擦系数，M为电 动机输出转矩。试求以M为输入，以 2 为输出的齿轮系统传递函数。 M 1 J 2 J 1 2 1 2 1 N 2 N 图 2-43 习题 2-3 图 解：解：设 1 M为齿轮1阻转转矩， 2 M为齿轮2的转动转矩，则轴1的转矩方程为： )()( )()( 1 1 1 2 1 2 1 tMtM dt td dt td J 轴2的转矩方程为： )( )()( 2 2 2 2 2 2 2 tM dt td dt td J 设初始条件为零，将上面两式拉式变换得： )()()()( 11111 2 sMsMsssJs (1) )()()( 22222 2 sMsssJs (2) 由于做功相等，有)()()()( 2211 ttMttM，得 1 2 1 2 1 12 )( )( )( )()( N N tM t t tMtM = 1 2 12 )()( N N sMsM (3) 联立（1） （2） （3）式得： )( )()( 11 1 )( )( 1 )( )( 1 )( )( )( 1 2 21 22 21 2 22 22 1 2 1 2 22 2 11 2 1 2 11 2 2 1 11 2 2 N N l slsJJl l sJslslJs l l s l JslslJs s sM lslJs s sM lslJs sM s sG 2-4 图 2-44 是两个串联水箱上下放置组成的液位-流量系统， 两个水箱的底面积分别为 1 C和 2 C，系统输入流量为 i Q，两个水箱出水阀的流出量分别为 1 Q和 2 Q，而两个水箱的液 位高度分别为 1 h和 2 h，出水阀流通面积恒定。求传递函数)()(H2sQs i 。 12 1 h 2 h i Q 1 Q 2 Q 图 2-44 习题 2-4 图 解：解：由本章例 2-7 可知水箱流出量：)()()(thtStQ，式中，是出水阀的节流系数， h为液位差， 0 )(StS为出水阀流通面积恒定。设该函数工作在 0 h点，泰勒级数展开线性化 得： )( 1 2 1 )()( 0 0 0 th h Sth h Q tQ hh （2） 令 00 2ShR则上述方程可简化为： R th tQ )( )( ，因此，在平衡点附近分别有 1 1 1 )( )( R th tQ ， 2 2 2 )( )( R th tQ 其中 1 R和 2 R分别在各自工作点的参数（液阻） 。根据动态平衡关系建立增量化微分方程得： )( ) 1( 1 )( )( ) 1( )( )( 1 )( )( 1 )( )()()( )( 1 )( )()()( )( )( )( )()( )( )( )( )()( 2 2 221 1 11 2 2 221 1 1 1 11 2 2 2 2221 1 1 1 111 2 2 2 2 221 1 1 1 1 11 sH R sCRR R sCR sQ sH R sCRR sH sH R sCR sQ sH R sQ ssHCsQsQ sH R sQ ssHCsQsQ R th tQ dt thd CtQtQ R th tQ dt thd CtQtQ i i i i 传递函数： ) 1)(1()( )( )(G 2211 22 sCRsCR R sQ sH s i 2-5 图 2-45 是两个串联水箱平行放置组成的液位-流量系统， 两个水箱的底面积分别为 1 C和 2 C， 输入流量为 i Q， 两个阀的流出量分别为 1 Q和 2 Q， 而两个水箱的液位高度分别为 1 h 和 2 h，出水阀流通面积恒定。求传递函数)()(H2sQs i 。 13 1 h 2 h i Q 1 Q 2 Q 图 2-45 习题 2-5 图 解：解：同上，在工作点线性化后，可设 1 21 1 )()( )( R thth tQ , 2 2 2 )( )( R th tQ 再根据动态平衡关系建立增量化微分方程得： 2 2 2 2221 1 21 1 111 2 2 2 2 221 1 21 1 1 11 )( )( )()()( )()( )( )()()( )( )( )( )()( )()( )( )( )()( R sH sQ ssHCsQsQ R sHsH sQ ssHCsQsQ R th tQ dt thd CtQtQ R thth tQ dt thd CtQtQ i i )( )( )( )()( )( )()()( )( )( )()()( )()( )( )()()( 22 2 2 1 1 21 1 111 2 2 2 2221 1 21 1 111 ssHC R sH sQ R sHsH sQ ssHCsQsQ R sH sQ ssHCsQsQ R sHsH sQ ssHCsQsQ ii )3()( )( )( )2()()()( ) 1 ()()()( 22 2 2 1 2111 111 ssHC R sH sQ sHRsQsH sQssHCsQi 将（3）代入（2）中得： )()( )( )( 2212 2 21 1 sHssHRC R sHR sH （4） 将（4）代入（1）中得： )()()( )( )( 12212 2 21 1 sQsHssHRC R sHR sCsQi （5） 再将（3）代入（5） ： )( )( )()( )( )( 22 2 2 2212 2 21 1 ssHC R sH sHssHRC R sHR sCsQi 14 )( 1 )( 22 2 1 2 121 2 1 1 sHsC R sCsRCC R R sCsQi 化简得传递函数： 1)( )( )( )(G 221211 2 2121 22 sCRCRCRsCCRR R sQ sH s i 2-6 图 2-46 为气动装置中作为控制元件的喷嘴挡板机构原理图，其作用是把微小的位 移转换成相应的压力信号。记)(tQi为气阻进气流量（kg/s） ，)(tQo为喷嘴排气流量（kg/s） ， D为喷嘴口直径(cm)，)(tx为挡板与喷嘴间距(cm)，)(tP为喷嘴背压室压强(kg/cm 2)，其中， 喷嘴背压供不耗气式功率放大器放大，故无流量损失。已知喷嘴排气流量满足 )(2 0 PPgDxQo，其中，为喷嘴口流量系数，为空气密度（kg/cm 3）, 0 P为大气 压(kg/cm 2)。假设整个过程中大气压和温度保持不变，试以 )(tP为输出量，以)(tQi和)(tx为 输入量，建立系统的增量化线性微分方程。 （提示：气体状态方程为nRTPV ，其中，V为 背压室的容积，P为喷嘴背压，R为气体常量，T为恒定温度，n为物质的量） P o Q i Q 挡板 喷嘴 x 去力平衡式功率放大器 背压室气阻 D 图 2-46 习题 2-6 图 解：解：根据题意有： m RT PVM 其中，nMm，M为气体摩尔质量。单位时间内背压室空气量的变化为 dt tdm tQtQ oi )( )()( 进一步可得： dt tdP RT VM RT tVMP dt d tQtQ oi )( )( )()( 记 0 )()( PtPtP，则喷嘴排气流量为 )( 2)()(2)()( 0 tPgtDxPtPgtDxtQo 由此得非线性方程： dt tPd RT VM tPgtDxtQi )( )( 2)()( 设工作点为) ,( 00 Px，可线性化得： )( 2 )( 2)( )()( 0 00 0 0 0 0 0 tP P PgDx txPgDtP x Q tx x Q tQ PP xx o PP xx o o 由此得气体流量增量化平衡式为： 15 dt tPd RT VM tP P PgDx txPgDtQi )( )( 2 )( 2)( 0 00 0 令 0 2PgD， 0 00 0 2 P PgDx T ， RT VM T 1 ，并略去符号，最后得： )()()( )( 01 txtQtPT dt tPd T i 2-7 图2-47所示的电加热炉是热力系统中常见的被控对象。考虑输入量为加热器电压 u，加热器电阻值为r，加热器效率为，输出量为炉内温度，q为单位时间内加热器加 入炉内的热量，q 为单位时间内炉内向外散出的热量， 为恒定的环境温度。设C表示电炉 炉温上升C 1所需热量，且向外散出热量与炉内外温差成正比，比例系数为R，试求电加热 炉系统的增量化微分方程并对微分方程进行无因次化。 qu q r 图 2-47 习题 2-7 图 解：解：根据热量平衡得： )( )( )( tqtq dt td C (1) 因向外散出的热量与炉内外的温差成正比，根据题意可设 )()( ttqR (2) 将上面两式(1)和(2)联立得： )()( )( tRqt dt td RC 因 为常数，去除后的得增量化方程： )()( )( tqRt dt td RC (3) 由电阻发热关系得： r tu tq )( )( 2 ，)(tq与)(tu为非线性关系，设工作点为),( 00 uq，在此附 近进行泰勒展开取一次项得： )( 2 )( )( )( )( 0 0 tu r u tu tdu tdq tq uu （4） 由（1）-（4）得线性化增量微分方程（略去） ： )( 2 )( )( 0 tu r Ru t dt td RC 现将上式进行无因次化，将各增量除以各自的平衡状态时的值，即表示成平衡状态值的 16 分数，则上式化为： 0 0 0 0 0 0 0 0 )(2)( )( u u tu r Rut dt t d RC 令 0 )( )( t t ， 0 )( )( u tu tu将上式化为： 00 0 000 )()( 2 )( )( tuutu r Ru t dt td RC 进一步化简： )()( )( tut dt td RC 在上式中再以无因次时间 T t RC t 代替t可得：)()( )( TuT d Td 2-8 已知描述系统的微分方程组如下： )()()( )()()( )()( )()()()( )()( )()()()( 5 45 342 523 102 111 tytxty tytxtx txtxT txttxtx txKtx tKtyTtrtx 其中，r和为输入量，y为输出量， 0 K， 1 K， 1 T和 2 T均为常数，试画出系统的结构图并 求传递函数)()(sRsY和)()(ssY。 解：解：由方程组可得系统的结构图为： ( )R s( )Y s 1 K 0 K 2 1 T s 1 1s 1 T s ( ) s 1( ) X s 2( ) Xs 3( ) X s 5( ) Xs 4( ) Xs 令0)( s，化简结构图如下： ( )R s( )Y s 0 K 2 1 T s 1 1s 1 T s 1( ) X s 2( ) Xs 3( ) X s 5( ) Xs 4( ) Xs 将图中)()( 32 sXsX与中间信号转移到下一个节点处： 17 ( )R s( )Y s 0 K 2 1 T s 1 1s 1 T s 2 1 T s 化简： ( )R s( )Y s 0 K 2 1 T s 1 1s 1 T s sT2 1 1 1 化简： ( )R s( )Y s 0 K 2 1 T s 1 T s ) 1)(1( 2 2 ssT sT 化简： ( )R s( )Y s 0 K 2 1 T s 1 T s ) 1)(1( 1 ) 1)(1( 2 2 2 2 ssT sT ssT sT 化简： ( )R s( )Y s 1 T s ) 1)(1( 1 ) 1)(1( 2 2 2 0 ssT sT ssT K 化简： ( )R s( )Y s 1 T s 1) 12( 2 2 2 0 sTsT K 得传递函数 18 1) 12( 1) 12( 1 1) 12( )( )( 102 2 2 0 2 2 2 0 1 2 2 2 0 sTKTsT K sTsT K sT sTsT K sR sY 同理令R(s)=0,化简结构图如下： ( )Y s 1 K 0 K 2 1 T s 1 1s 1 T s ( ) s 1( ) X s 2( ) Xs 3( ) X s 5( ) Xs 4( ) Xs 将图中)()( 32 sXsX与中间信号转移到下一个节点处： ( )Y s 1 K 0 K 2 1 T s 1 1s 1 T s ( ) s 2 1 T s ( )Y s 1 K 0 K 2 1 T s 1 1s 1 T s ( ) s sT2 1 1 1 ( )Y s 1 K 0 K 2 1 T s 1 T s ( ) s 1 1 1 2 2 ssT sT 将输入信号分开： 19 ( )Y s 1 K 0 K 1 T s ( ) s sTssT sT sT 22 2 2 ) 1)(1( 1 ( ) s 将中间的输入信号)(s移到前一个节点处： ( )Y s 1 K 0 K 1 T s sTssT sT sT 22 2 2 ) 1)(1( 1 ( ) s 0 )( K s ( )Y s( )s 0 10 1 K KK sTssT K 22 0 )1)(1( sT1 得传递函数 1) 12( 1 ) 1)(1( 1 ) 1)(1( 1 ) 1)(1(1 )( )( 102 2 2 10 1022 0 0 10 1 22 0 22 0 0 10 sTKTsT KK sTKsTssT K K KK sT sTssT K sTssT K K KK s sY 2-9 液位自动控制系统如图 2-48 所示，容器底面积为C，流入量为 1 Q，流出量为 2 Q， 液位高度h的变化带动浮子运动，从而控制电压 f u的大小，两者关系为hKuf 1 ，放大器系 数为K，减速器的减速比例为 21 NN，阀门开度A与电动机转角n关系为nKNNA 221 )(， 流入量与阀门开度关系为AKQ 31 ，其中， 1 K， 2 K和 3 K为比例常数，给定输入电压为 r u， 输出为液面高度h。设电动机传递函数为) 1()()(sTKsUsN mma ，试画出系统的结构图并 求系统的传递函数)()(sUsH r 。 20 放大器 a u r u 1 Q 2 Q f u h 1 N 2 N 减速器 图 2-48 习题 2-9 图 解：解：液位系统结构图为 n 2 1 N N 2 K 3 K 1sT K m m K 1 K 1 Q A 1RCs Ra U r U f U NH 化简结构图如下： 1 K ) 1)(1( 2 321 sTRCsN RKKKKN m mr U f U H 故得系统传递函数 RKKKKKNNsTRCNsRCTN RKKKKN sTRCsN RKKKKKN sTRCsN RKKKKN sU sH mmm m m m m m r 321122 2 2 321 2 3211 2 321 )( ) 1)(1( 1 ) 1)(1( )( )( 2-10 直流电动机双闭环调速系统如图 2-49 所示， 电流互感器和测速发电机的反馈系数 分别为 1 K和 2 K，调速系统得给定输入为 r u，输出为角速度，设晶闸管电路的传递函数为 ) 1(sTK pp 。要求： （1）分别求速度调节器和电流调节器的传递函数。 （2）利用例 2-4 中的式（2-8）和（2-9） ，画出系统的结构图并求系统的传递函数。 21 电路 晶闸管 负载 a u r u 1 u 2 u 测速发电机 II I R R 1 R 1 C R R 2 R 2 C 电流互感器 速度调节器 电流调节器 f u 图 2-49 习题 2-10 图 解：解： （1）速度调节器的传递函数为 sRC sCR R sC R sU sU sG r c 1 111 1 1 1 1 )( )( )( 1 电流调节器的传递函数为 sRC sCR R sC R sU sU sGc 2 222 2 1 2 1 1 )( )( )( 2 （2）利用例 2-4 中的式（2-8）和（2-9） ，直流电动机调速系统的结构图如图1所示 a U 1c G aa RsL 1 m C mms J 1 2c G e C 2 K 1 K a I c M r U 1sT K p p 图 1 移动 e C反馈点，转化结构如图2所示 22 a U 1c G aa RsL 1 m C mms J 1 2c G e C 2 K 1 K a I c M r U mm m sJ C m C 1 c M 1sT K p p 图 2 移动 c M接入点，转化结构如图3所示 a U 1c G aa RsL 1 m C mms J 1 2c G e C 2 K 1 K a I c M r U mm m sJ C c M mm e sJ C 1 T 1sT K p p 图 3 其中， a U到 a I之间内环的传递函数 1 T memmaa mm mm me aa aa CCsJRsL sJ sJ CC RsL RsL T )( 1 1 1 1 于是，结构图表示为图4所示 1c G m C mms J 1 2c G 2 K 1 K a I c M r U 1 T a U c M mm e sJ C 1sT K p p 图 4 合并 c M扰动作用得图5： 23 1c G m C mms J 1 2c G 2 K 1 K a I c M r U 1 T a U 1sT K p p c M 2 T )( ) 1( 2mmcp pe sJGK sTC 图5 其中， 1c G到 m C之间内环的传递函数 2 T memmcaapmmpc mmcp memmaa mm pcp memmaa mm cp pcp cp p p c p p c CCsJGKRsLsTsJKKG sJGK K CCsJRsL sJ KGsT CCsJRsL sJ GK KTKGsT TGK KT sT K G T sT K G T )() 1()( )( )( ) 1( )( ) 1( 1 1 1 2222 2 22 2 212 12 212 12 2 其中，分母表示为 memmcaapmmpc CCsJGKRsLsTsJKKG)() 1()( 2222 于是结构图表示为图6 1c G m C mms J 1 1 K c M r U c M 2 T )( ) 1( 2mmcp pe sJGK sTC 图6 24 1c G m C mms J 1 1 K r U 2 T c M 1 )( ) 1( 2 2 mmcp pme sJGK sTTCC 图7 其中， memmcaapmmpccc