概率论与数理统计试题库

概率论与数理统计一、填空题1已知则（ 0.25 ）2已知在10只产品中有2只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）3理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。即当n0，p，且np（常数 ）时，有关系式=成立。 4三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）5若事件A,B为任意事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6写出随机变量X服从参数为（正常数）的泊松分布的概率公式（ ）7当随机变量R.V. N（,）时，有Pa0=0.6 。 （ P ）7、 设样本的频数分布为 X 01234频数13212则样本方差为1。 （ O ）8、 D(X+1)=D(X) ( P )9、 甲乙两人各自考上大学的概率分别是70%，80%，则甲乙两人同时考上大学的概率是56%。（ P ）10、 如果密度函数连续，那么密度函数是分布函数的导数。（ P ）三、单项选择题1设随机事件A与B互不相容，且P（A）P（B）0，则 ( ) AP(A)=1-P(B)BP(AB)=P(A)P(B) BCP(AB)=1DP(AB)=p(A)+P(B)2已知随机变量的分布列R.V.,则k值是( ).A0.3 B0.5C0.6 D0.73设A，B为随机事件，P（B）0，P（A|B）=1,则必有 ( ) AP(AB)P（A） BP(AB)P（B） C P（A）P（B） DP（AB）P（A）4、若事件A发生必将导致事件B发生，则称（ ） AA包含B BA包含于B CB包含于A DA与B 相等5将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 ( ) A0.25B0.35C0.6D0.7 6某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3/4，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是( ) A2/3B3/4C3/64D4/5 7下列分布中，不是连续型分布的是（ ）A二项分布 B正态分布 C指数分布 D分布8已知随机变量X的概率密度为f(x)=1/2，令Y2X，则Y的概率密度为 ( ) A-3B-4C+1D-19、在相同条件下进行的n次重复试验，如果每次试验只有2个可能结果，而且它们在各次试验中发生的概率不变，则称这样的试验为n重（ ） An重古典试验 Bn重统计试验 Cn重泊松试验 Dn重伯努利试验10如果函数f(x)=1/3,是某连续随机变量X的概率密度，则区间a,b可以是 ( )A0,1B0.2C0,3D1,2 11. 甲乙二人射击，每枪中靶的概率分别为0.7, 0.8,则二人各打一枪同时中靶的概率为 ( ) A. 0.6 B. 0.7 C. 0.56 D. 1.5 12. 一次抛掷十枚硬币，恰好两枚正面向上的概率为 ( ) A. 52(-10) B.452(-10) C. 542(-10) D. 42(-10)13、已知A，B是样本空间中的两事件，且=1，2，3，4，5，6，7，8，A=2，4，6，8，B=2，3，4，5，6，7，则是（ ） A2，4，6 B2，4，6，8C1，3，5，7，8 D1，3，5，714 .已知随机变量X和Y相互独立，且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布，则E（XY）（ ）A3B6C10D1215设（x）为标准正态分布函数，且P(A)=0.8，X1，X2，X100相互独立。令，则由中心极限定理知Y的分布函数F（y）近似于 （ ）A（y）B(X)C0.8D1四、简答题。1叙述伯努利大数定理。答：设是次独立重复试验中事件发生的次数。是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意正数，有或 2 15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？（本题是课本17页例7）答案：15名新生平均分配到三个班级中去的分法总数为。每一种分配法为一基本事件，且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同。（1） 将3名优秀生分配到三个班级每班一个的分法共3！种，其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有种。因此，每一个班级各有一名优秀生的分法共有种。于是所求的概率为3叙述棣莫弗拉普拉斯中心极限定理。答：设随机变量服从参数为的二项分布，则对于任意，有五、计算题。1设随机变量的分布律为-123求的分布函数，并求，。答：仅在三点处其概率不为0，而的值是的累积概率值，即为小于或等于的处的之和，则有即 ，。2设随机变量具有概率密度确定常数；求的分布函数；求。答：由，得 解得 。的分布函数为即 。3已知随机变量有分布密度 P(x)=又知P23=2P12，试求待定系数a，b.解： （1） 又 （2）解之得： 4a+2b=14设随机变量服从指数分布，其概率密度为 其中，求，。答： ， ，于是 .5设随机变量具有概率密度 求随机变量的概率密度。答：分别记的分布函数为，则。将关于求导数，得的概率密度为 6某人独立射击400次，命中率为0.015。试求此人至少命中2次的概率。解：因为是独立射击，所以服从二项分布此人在400次独立射击中至少命中2次的概率=1-此人在400次独立射击中只击中1次的概率-此人在400次独立射击中只击中0次的概率。所以有P(此人在400次独立射击中只击中1次)= P(此人在400次独立射击中只击中0次)= 1-=1-0.00240467267584-0.00236860258570=0.995226724738467设随机变量具有概率密度 求数学期望，.答：.8设总体在上服从均匀分布，未知. 是来自的样本，求的矩估计量.答：.即 解得分别以代替得到的矩估计量分别为：9.设总体的均值及方差都存在，且但，均未知.又设是来自的样本. 求，的矩估计量.答：由 解得 分别以代替得到，的矩估计量分别为：10有一批糖果.现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。答：由于由数据得则得均值的一个置信水平为0.95的置信区间为（503.75）,即 （500.4，507.1）11为研究某一化学反应过程中，温度（）对产品得率（）的影响，测得数据如下.温度（）100110120130140得率（）4050556065这里自变量是普通变量，是随机变量，求关于的线性回归方程。答：列表如下;100401000016004000110501210025005500120551440030256600130601690036007800140651960042259100600270730001495033000,，则得，故回归直线方程为 .121到100的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？ 答案：设A为事件“取到的数能被6整除”，B为事件“取到的数能8整除”，则所求概率为=由于，。又由于一个数同时能被6与8整除，就相当于能被24整除，因此，得，于是所求概率为13设A，B为两个随机事件，0P（B）1，且P（AB）P（A），证明事件A与B相互独立。答案；证明：由P（AB）P（A）又因为P（AB）=，所以所以，所以事件A与B相互独立。14的分布列为（1）求的值；（2）求的值答案：解：（1）由，得（2）15设X,为未知参数，x1,x2,x3,xn是来自X的一个样本值。求的最大似然估计量。答案：解：X的概率密度为似然函数为而令由前一式解得,代入后一式得.因此得的最大似然估计量为,16某课程命题初衷，其成绩，为待估参数。考毕抽查其中5份试卷的成绩如下： 77 95 81 53 69试求该课程平均成绩的置信区间。置信水平。解：这里，=0.025，n-1=4，=2.7764，由给出的数据算的=75，s=13.5，由公式得均值的一个置信水平为0.95的置信区间为 即（58.2378，91.7622） 这就是说估计学生成绩的均值在58.2378与91.7622分之间，这个估计的可信度为95%。17. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：或系统I12nn+1n+22n如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统II1n+12n+2n2n解：令 “系统（）正常工作” “系统（）正常工作” “第个元件正常工作”， 相互独立。那么 18. 设连续型随机变量的概率密度曲线如图所示. f (x) x t o 1 2 3 0.5试求:（1）的值； （2）的概率密度； （3）.解：（1） （2）（3）19.某地4至10周岁女孩7个年龄组的平均身高(单位:cm)的实测数据如下:女孩年龄()45678910平均身高()101106112116121125129试求女孩身高关于年龄的线性回归方程。（94344）解：通过做散点图知道女孩的年龄x和身高y具有线性函数a+bx的形式。我们假设对于x的每一个值有，其中a,b及都是不依赖于x的未知参数.记，对Y作这样的假设，相当于假设 其中未知参数a,b及都不依赖于x。现在n=7,为求线性回归方程，所需计算列表如下：xyxy41011610201404510625112365306112361254467271164913456812812164146419689125811562511251012910016641100049810371943445511= 28, =-159 故得 =-0.1761 = 116.9470于是得到回归直线方程作业：（任选五题）1、1到100的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？2、某课程命题初衷，其成绩，为待估参数。考毕抽查其中5份试卷的成绩如下： 77 95 81 53 69试求该课程平均成绩的置信区间。置信水平。3、的分布列为（）求的值；（）求的值4、设A，B为两个随机事件，0P（B）1，且P（AB）P（A），证明事件A与B相互独立。5、设随机变量具有概率密度确定常数；求的分布函数；求。6、15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问（1）每个班级各分配到1名优秀生的概率是多少？（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？7、假设某地在任何长为(年)的时间间隔内发生地震的次数服从参数为的Poisson(泊松)分布，表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求: （1）证明服从指数分布并求出的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率； （3）今后3年