固体物理习题课

习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 则运动方程可表为：则运动方程可表为： 补充题一、证明在由两种不同质量补充题一、证明在由两种不同质量M,m(Mm)的原子所组成的的原子所组成的 一维复式格子中，如果波矢一维复式格子中，如果波矢q取边界值取边界值（a为相邻原子为相邻原子 间距），则在声学支上质量为间距），则在声学支上质量为m的轻原子全部保持不动；在光的轻原子全部保持不动；在光 学支上质量为学支上质量为M的重原子保持不动。的重原子保持不动。 解：如图所示解：如图所示 令令为近邻原子间为近邻原子间 的恢复力常数的恢复力常数 01/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 设试探解：设试探解： 将试探解代入方程得到：将试探解代入方程得到： 由线性齐次方程组有非零解的条件得到：由线性齐次方程组有非零解的条件得到： 02/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 当：当： 代入原方程组得到：代入原方程组得到： 光学支：光学支： 声学支：声学支： 当：当： 光学支：光学支：B=0 声学支：声学支：A=0 03/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 解：格波总能量为：解：格波总能量为： 式中式中m为原子的质量。为原子的质量。 补充题二、设有一纵波：补充题二、设有一纵波： 沿着一维单原子链传播，原子间距为沿着一维单原子链传播，原子间距为a，最近，最近邻互作邻互作用的恢复用的恢复 力常数为力常数为试证明：每个原子对时间平均的总能量为：试证明：每个原子对时间平均的总能量为： 04/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 求和遍及链上所有原子。总能量对时间的平均值为：求和遍及链上所有原子。总能量对时间的平均值为： 将将代入代入 得到得到 05/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 每个原子对时间的平均能量为：每个原子对时间的平均能量为： 根据一维单原子链的色散关系：根据一维单原子链的色散关系： 可以得到：可以得到： 06/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 补充例题三：求一维复式格子晶格振动的总动量补充例题三：求一维复式格子晶格振动的总动量 解：解：由由 可以得到晶格振动的总动量可以得到晶格振动的总动量 由：由： 07/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 当当 当当 对于长光学支：对于长光学支： 对于长声学支：对于长声学支： 08/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 解：在德拜模型下，晶体中的晶格振动被看成弹性波，假定某解：在德拜模型下，晶体中的晶格振动被看成弹性波，假定某 支弹性波的方程为：支弹性波的方程为： 补充例题四、利用德拜模型估算：补充例题四、利用德拜模型估算： （1）在绝对零度下晶体中原子的均方位移；）在绝对零度下晶体中原子的均方位移； （2）在非零温度下原子均方位移和温度的关系；）在非零温度下原子均方位移和温度的关系； 则由该支格波引起的对时间的均方位移为：则由该支格波引起的对时间的均方位移为： 09/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 假定晶体的体积为假定晶体的体积为V，密度为，密度为D，则相应这支格波的平均动能，则相应这支格波的平均动能 为：为： （1）由于绝对零度下相应于频率为）由于绝对零度下相应于频率为的零点能为：的零点能为： 相应于频率为相应于频率为的那支格波引起的原子均方位移为：的那支格波引起的原子均方位移为： 10/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 考虑到晶体中存在有许多不同频率、不同模式的格波，因此总考虑到晶体中存在有许多不同频率、不同模式的格波，因此总 的均方位移应对所有不同格波进行求和。又由于各振动模式间的均方位移应对所有不同格波进行求和。又由于各振动模式间 是相互独立的，因此有：是相互独立的，因此有： 当当N足够大时，振动频率趋于连续，求和可以用积分代替足够大时，振动频率趋于连续，求和可以用积分代替 11/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 将德拜模型的频率分布函数及最大频率代入得：将德拜模型的频率分布函数及最大频率代入得： （2）非零温度下相应于某频率的格波的平均能量应为格波能）非零温度下相应于某频率的格波的平均能量应为格波能 量和该温度下该格波的平均声子数之积，即：量和该温度下该格波的平均声子数之积，即： 12/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 则在该温度下相应于该频率的原子均方位移为：则在该温度下相应于该频率的原子均方位移为： 于是对应该温度下的原子均方位移为：于是对应该温度下的原子均方位移为： 则相应该格波的平均动能为：则相应该格波的平均动能为： 13/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.2 讨论讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其），其 2N个个格波解，当格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应时与一维单原子链的结果一一对应 解：质量为解：质量为M的原子位于的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 。 质量为质量为m的原子位于的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。 牛顿运动方程牛顿运动方程 N个原胞个原胞，有有 2N个独立的方程个独立的方程 14/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 方程方程的解的解 代回到运动方程代回到运动方程 A、B有有 非零解非零解 15/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 两种不同的格波的色散关系两种不同的格波的色散关系 1 22 2 2 1 22 2 2 ()4 1 1sin () ()4 1 1sin () mMmM aq mMmM mMmM aq mMmM 对应一个对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总有两支格波：一支声学波和一支光学波。总 的格波数目为的格波数目为2N 16/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 两种色散关系如图所示两种色散关系如图所示 4 cos 2 4 sin 2 aq m aq m 17/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 长波极限情况下长波极限情况下 与一维单原子晶格格波的色散关系一致与一维单原子晶格格波的色散关系一致 18/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.3质量相同两种原子形成一维双原子链质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的最近邻原子间的 力常数交错等于力常数交错等于和和，并且最近邻的间距并且最近邻的间距 1) 求出色散关系和分析计算求出色散关系和分析计算处格波的频率值处格波的频率值 2) 大致画出色散关系图大致画出色散关系图 解：解： 绿色绿色标记的原子位于标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 红色标记原子位于红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 19/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 第第2n个原子和第个原子和第2n1个原子的运动方程个原子的运动方程 体系体系N个原胞个原胞，有有2N个独立的方程个独立的方程 方程的解方程的解 令令 20/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 A、B有非零的解有非零的解，系数行列式满足系数行列式满足 21/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 两种色散关系两种色散关系 22/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 色散关系图色散关系图 两种色散关系两种色散关系 23/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 解解（1）以以表示位于表示位于l列列m行（行（l,m）的原子在垂直所在平面方向）的原子在垂直所在平面方向 离开平衡位置的位移，仅考虑近邻原子的作用有：离开平衡位置的位移，仅考虑近邻原子的作用有： 24/34 补充例题五补充例题五、设有由相同原子组成的二维正方格子点阵设有由相同原子组成的二维正方格子点阵，原子原子 的质量为的质量为M，晶格常数为晶格常数为a，近邻原子的恢复力常数为近邻原子的恢复力常数为。 （1）假定原子只作垂直表面的横向振动假定原子只作垂直表面的横向振动，求横向晶格振动的色求横向晶格振动的色 散关系；散关系； （2）假定原子只在表面内振动假定原子只在表面内振动，求其晶格振动的色散关系；求其晶格振动的色散关系； （3）在长波情况下在长波情况下，求出横向晶格振动的频率分布函数求出横向晶格振动的频率分布函数。 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 令试探解为：令试探解为： 得到：得到： （2）在平面内的原子位移为矢量，表为：）在平面内的原子位移为矢量，表为： 所受的力为：所受的力为： 则有：则有： 25/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 令试探解为：令试探解为： 可以得到：可以得到： 于是得到频谱关系：于是得到频谱关系： 26/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 （3）在长波情况下，横向晶格振动的色散关系为：）在长波情况下，横向晶格振动的色散关系为： 相应的频率分布函数为：相应的频率分布函数为： 则：则： 27/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.6 计算一维单原子链的频率分布函数计算一维单原子链的频率分布函数 ( ) 设单原子链长度设单原子链长度 波矢取值波矢取值每个波矢的宽度每个波矢的宽度 状态密度状态密度 dq间隔内的状态数间隔内的状态数 对应对应 q， 取值相同，取值相同， d 间隔内的状态数目间隔内的状态数目 dq Na d 2 2)( 28/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 dq Na d 2 2)( 一维单原子链色散关系一维单原子链色散关系) 2 (sin 4 22 aq m 令令 两边微分得到两边微分得到 d 间隔内的状态数目间隔内的状态数目 29/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 22 0 12 )( N 代入代入 频率分布函数频率分布函数 30/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 3.7 设三维晶格的光学振动在设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：附近的长波极限有： 证明：频率分布函数证明：频率分布函数 三维晶格振动的态密度三维晶格振动的态密度 dq间隔内的状态数间隔内的状态数dqq V qn 2 3 4 )2( )( 对对两边微分得到两边微分得到 31/34 习题问题讨论三 晶格振动与晶体的热力学性质 将将dq 和和代入代入 得到得到 0 2/1 0 2/32 )( 1 4 )( A V f 时时为虚数