数列的极限（0001）课件

高等数学,主讲：谭宏,电话1.2 数列的极限,极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的，它是微积分学中最基本的概念，极限方法是解 决近似与精确这对矛盾的基本方法，由它可引出微积 分学的其它基本概念，由极限的运算法则又可以推导 出微分法与积分法，所以掌握极限概念及其运算法则 就显得十分重要了.,“极”、“限”二字，古以有之引申到生活中， 把不可逾越的数值称为极限。但在数学中，“极限” 却有更深刻的含义。,1.2.1 数列极限的概念,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术, 刘徽,正六边形的面积,正十二边形的面积,形的面积, ,（圆的面积）,正,2、截丈问题,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”, ,0,注：,1。数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在 数轴上依次取,2。数列是整标函数,数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面的图象可知:,=,数值? 如果是,如何确定?,定义2,如果对于任意给定的正数,（不论它多么小），,总存在正数,N,使得对于,时的一切,不等式,都成立,那末就称常数,A,是数列,的极限，,或者称数列,收敛于,A,记为,或,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,a. 任意性. 即,可以任意选取，因为只有这样，不等式,才能刻画,无限接近A,.,b.相对固定性.,一经选取就相对固定下来，这样我们才,找N ，否则无法进行.,可根据,2、一般说来N与,有关，记为,.,3、对给定的,，,，对应的N不是唯一的. 当,时，能使,成立，则当,时,也成立。,几何解释:,问 题 1,根据极限定义,猜想下列数列的极限,0,0,0,0,问 题 2,判断下列命题的正确性:, 数列an的极限是A,则A一定是该数列 中的一项;,任何一个无穷数列必存在极限;,数列 的极限存在,且偶数项的 极限为1,奇数项的极限为-1.,判断下列命题的正确性:,例1,证,所以,例2,证,所以,说明: 常数列的极限等于同一常数.,例3,证,例4,证,在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重 要的是要指出对于任意给定的正数，正整数N 确实存在，没有必要非去求出最小的N。,注：,1.2.2 数列极限的性质,1、唯一性,定理 1 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,数列二 1/2, 2/3, 3/4, , n/(n+1),2、有界性,数列一 1, 2, 3, n, ,无界,数列三 1, -1, 1, -1,有界,有界,定义: 对数列, 若存在正数, 使得一切自然数,定理2,证：,设,取,则存在正整数N，当,时，有,又因为,所以，当,时，有,令,于是对所有的正整数n都有,，都有,注意：,数列收敛,数列有界,无界数列一定发散,例：,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.这就,3、比较性,定理3：,设,且,，则存在正整数N，当,时，有,证：取,又,令,故当nN时有：,证 就 的情形证明.,从而,推论2：设,且存在正整数,，当,时，有,，则,1.2.3 数列极限存在的准则,（1）夹逼准则,定理4：,设数列 满足,1）,2）,注意：,则夹逼准则不存在,例 求,解：,因,所以：,而：,由夹逼准则,=1,（2）单调有界准则,定义3 若数列,的各项满足不等式,则称,递增和递减数列统称为单调数列,为递减数列；,为递增数列；,不是单调数列。,，,为递增（递减）数列。,例如：,几何解释:,定理5,在实数系中，有界且单调数列必有极限。,(单调有界准则),几点说明：,通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。 本定理只是证明了存在性。 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在性。,例 设 其中 ，证明 收敛。,证明： 递增显然，下面证明有上界，事实上：,证明：先建立一个不等式，设,对任一正整数,，有,整理后得不等式：,例4 证明 存在。,联系到该数列的单调性，可知对一切正整数,，都有,即,有上界。,单调递增上界，即收敛。,于是,上式对一切正整数,都成立，即对一切偶数,，有,。,例 证明数列,收敛，并求其极限.,证明：记, 则,先证,有界:,则,故,从而,故,单调有界，因而收敛。,令,1.2.4 数列极限的四则运算法则,数列极限的定义揭示了极限的本质，但利用 极限的定义来计算极限是非常困难的。计算极限 的最常见的方法还是利用极限的运算法则。,（an bn）= a b,（an bn）= a b,=,2、参与运算的数列的个数必须是有限的,法则的前提：,1、参与运算的数列必须有极限,定理6：,注意：,例如，,所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列xn中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列xn的子数列（或子列）.,在子数列 中，一般项 是第 项，而 在原数列 中却是第 项，显然，,1.2.5 数列的子列概念,定理7(收敛数列与子数列间的关系） 如果数列xn收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.,证毕,证 设数列 是数列 的任一子数列.,使 时, 恒有 .,取,则当 时,故数列 发散.,证：因为当 时,证明数列 是发散的.,注：此定理为确定一个数列的极限不存在提供了一个简 单的方法，一般我们采用下面两种方式来说明一个 数列的极限不存在：,有一个子数列,发散，则,必发散；,(2)若,有两个子数列分别趋于不同的极限，则数列,发散.,(1) 若,小结：,几个基本数列的极限：,观察,归纳,法则应用，掌握规律 例：求下列极限,1）如果f(n)的次数 = g(n)的次数 则极限为最高次系数比 2）如果f(n)的次数 g(n)的次数 则极限不存在,总 结：,其中f(n)，g(n)都是关于n的多项式,方 法：分子，分母同除以n的最高次幂,例 求下列极限,（1）,解：,=,= 1,（2）,=,解：,=,（3）,解：,=,=,= 1,方法：分子，分母同除以 最大的 底数的n次方,绝对值,例 求下列极限,（1）,解：,（2）,解：,方法：分子，分母有理化,例 求下列极限,解：,=1,如果一般项中式有和式，先求和,对两种不同解法的分析,因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况此题当n，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的 解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限,分析：题应该怎样做？ 用等比数列的求和公式先求出分母的和,连乘积的形式，可以进行约分变形,原式=,=2,分数和的形式，可以用“裂项法”变形,解：由已知得,求待定常数的极限逆向问题，一般都是