最新北师大版八下第一章三角形的证明（2）绝好课件

第一章 三角形的证明,2 直角三角形,知识点1 直角三角形的性质和判定方法 定理：直角三角形的两个锐角互余。 即：若ABC中C=90，则A与B互余(A+B=90) 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 即：若ABC中A与B互余(A+B=90) 则C=90（ ABC为直角三角形）,C,B,A,例，已知：如图所示，在ABC中，点D是AB的中点，CD= 那么ABC是直角三角形吗？并说明理由。,A,B,C,D,点拨：在三角形中，由边之间的数量关系得到等边 对等角，再根据三角形内角和定理求出角的度数是 判断三角形形状的关键。,知识点2 勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。,以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HDA = 90， EAB + HAD = 90， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于 . . .,证明方法1,以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角 三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两 个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点 在一条直线上. RtEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 . 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 . . .,证明方法2,例，如图所示，在ABC中，A=30，B=45，AC=2，求AB,AC的长。,解析：求三角形边长常用的方法是在直角三角形中 应用勾股定理求解，因为ABC不是直角三角形， A=30,B=45是特殊角，所以可以过点C作AB 边上的高构造直角三角形，再在直角三角形中求AB, BC的长。,A,D,B,C,知识点4 命题中的有关概念 互逆命题 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 例，命题“四边形是多边形”的条件是“ ”结论是“ ”；而逆命题“ ”的条件是“ ”，结论是“ ”当把前者叫做原命题时，后者叫做原命题的逆命题。,一个图形是四边形,这个图形是多边形,多边形是四边形,一个图形是多边形,这个图形是四边形,互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 例，定理“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题“同旁内角互补，两直线平行”是一个真命题，也是一个定理，那么这两个定理称为互逆定理。 而上例中“四边形是多边形”是真命题，但其逆命题“多边形是四边形”是假命题，两者不能称为互逆定理。,注意：任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理。,例，命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 。,对角线互相平分的四边形是平行四边形,点拨：写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果 那么”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出 的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题。,知识点5 “斜边、直角边”或“HL”定理 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 即，在ABC和ABC中，C=C=90,AB=AB,AC=AC(或BC=BC),就能得出结论ABCABC。,A,C,B,A,C,B,例，如图所示，AD为ABC边BC上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF=AC,FD=CD, 求证：BEAC,A,B,C,D,F,E,解析：要证BEAC，可证C+DBF=90,而 DBF+BFD=90,只需证BFD=C,进而只 需证RtBDFRtADC,根据BF=AC,FD=CD,由 “HL”定理可证RtBDFRtADC.,典型例题解析,题型一 利用直角三角形的两锐角互余求角的度数 例，如图所示，在ABC中，ACB=90,AD=AC,BE=BC,求DCE的度数。,C,A,E,D,B,解析：由于DCE是CDE的内角，所以 只要求出CED+CDE即可，而这两个角 是等腰ACD和等腰BCE的底角，可通过 等腰三角形的性质来求。,45,题型二 利用勾股定理求线段的长 例，如图所示，已知A=60，B=D=90，AB=2，CD=1.求BC和AD的长。,A,B,C,D,E,解析：由A=60可联想到“在直角三角形中，30角所对的直角边 等于斜边的一半”，故考虑延长AD,BC交于点E，则E=30，再利用 勾股定理求BE,DE,进而得到BC,AD的长。,题型三 勾股定理逆定理的应用 例，如图所示，在四边形ABCD中，AB=2，BC= ,CD=5 DA=4，B=90，求四边形ABCD的面积。,A,B,C,D,解析：将不规则四边形分割成三角形来解决，由于B=90，考虑连接 AC，分别求出ABC和ACD的面积。,题型四 利用勾股定理解决实际问题 例，如图所示，在平静的湖面上，有一株直立的红莲高出水平1m，一阵风吹来，红莲倾斜且其顶部齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，你能求出湖水有多深吗？,解析：设湖水深xm，题目中存在一个直角三角形，可利用勾股定理列 方程解决问题。,1.5m,题型五 利用勾股定理的逆定理解决实际问题 例，公路l的同侧有A,B两个送奶站，C为公路l上一供奶站，CA和CB为供奶站供奶路线，现已测得AC=8km,BC=15km, AB=17km,1=30.若有一人从C处出发，沿公路l行走，速度为2.5km/h.问：多长时间后这个人距B送奶站最近？,A,B,C,1,解析：首先在l上找到距离B最近的点，即过 点B作BDCD,垂足为点D，此点距离B最近， 已知这个人的速度，只要再知道这个人所走 的路程就可求出这个人走了多长时间。,l,3h,题型六 逆命题及判断命题的真假 例，说出下面命题的逆命题，并判断这对命题的真假。 如果ab=0，那么a=0，b=0,逆命题为：如果a=0，b=0，那么ab=0，是真命题,解析：把原命题的条件和结论交换即得逆命题。 原命题是假命题，反例，如a=0，b=1时，ab=0x1=0，此时b0,题型七 利用“HL”证直角三角形全等 例，如图所示，AD是ABC中BAC的平分线，且BD=DC. 求证：AB=AC,A,B,D,C,E,F,解析：要证明AB和AC相等，只需判定ABDACD 即可。虽然已有3个条件，但不能证明两个三角形 全等，则考虑依据角平分线作辅助线，作DEAB DFAC,可得DE=DF,AE=AF,再判定DEBDFC, 得到BE=CF，即可得结论。,中考真题（2012宜宾） 如图所示，点A,B,D,E在同一条直线上，AD=EB,BC/DF,C=F.求证：AC=EF,A,B,C,D,E,F,解析：欲证AC=EF,只要证ABCEDF即可,中考真题（2012达州） 数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角平分线，方法如下： 作法：如图1，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE 分别以D、E为圆心，以大于DE的1/2的长为半径作弧，两弧在AOB内交于点C 作射线OC，则OC就是AOB的平分线 小聪的作法步骤：如图2，利用三角板上的刻度，在OA和OB上分别截取OM、ON，使OM=ON 分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P 作射线OP，则OP为AOB的平分线 小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线,根据以上情境，解决下列问题： 李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是 小聪的作法正确吗？请说明理由 请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：作出图形，写出作图步骤，不予证明）,解析：连接CE,CD,用SSS可证CODCOE; 可用HL证明RtPOMRtPON,因此小聪的作法正确； 考虑利用“三线合一”的性质解答。,SSS,O,H,B,Q,G,A,易错点1 例，判断由长度分别为a,b,c的线段组成的三角形是不是直角三角形，其中,解析：不要先入为主误以为c一定是斜边长，因此在解题时应先比较 三角形三边长的大小，再计算较小两边长的平方和，看其是否等于第 三边长的平方。,是直角三角形,易错点2 例，RtABC的两边长分别是3和4，若一个正方形的边长等于ABC的第三边的长，则这个正方形的面积是（ ）,解析：在直角三角形中，已知两边的长可求第三边，但是当已知的 两边没有说明是直角三角形的直角边或斜边时，要注意分类讨论。,25或7,综合提升训练,1.如图所示，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A.2.5 B. C. D.,D,2.如图所示，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，若A=30,BD=2，则AC的长为（ ） A.4 B. C.8 D.16,A,B,C,D,B,3.如图所示，在ABC中，ADBC,CEAB,垂足分别为点D,E.AD,CE交于点H。请你添加一个适当的条件 , 使AEHCEB.,A,B,C,D,E,H,EA=EC或EH=EB或HA=BC,解析：先可证两三角形中AEH=BEC=90， AHE=EBC，再利用“AAS”或“ASA”可证全等。,4.在ABC中，AB=5cm,BC=6cm,BC边上的中线AD=4cm,则ADC= .,90,A,B,D,C,5.如图所示，已知点D,A,E在直线MN上，BDMN