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第七节 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,一、问题的提出,一块长方形的金属板，受热,产生如图温度分布场.,设一个小虫在板中逃生至某,问该虫应沿什么方向爬行，,才能最快到达凉快的地点？,处，,问题的实质：,应沿由热变冷变化最剧烈的,方向爬行,需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，,从而确定出温度下降的最快方向,引入两个概念：方向导数和梯度,方向导数问题,梯度问题,讨论函数 在一点P沿某一方向的 变化率问题,二、方向导数,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,记为,的方向导数为,方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.,原因：,证明,由于函数可微，则增量可表示为,方向导数的存在及计算公式,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，,且有,计算公式,故有方向导数,两边同除以,得到,故x轴到方向l 的转角,解,方向l 即为,所求方向导数,解,由方向导数的计算公式知,（1）最大值; （2）最小值； （3）等于零？,例2 求函数,的方向导数.,并问在怎样的方向上此方向导数有,故,方向导数达到最大值,;,方向导数达到最小值,;,方向导数等于0.,推广: 三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,沿着方向l的方向导数 ，,可定义为,其中,）,方向导数的计算公式,解,令,故,方向余弦为,求函数,处的指向外侧的法向量,故,三、梯度,设,是方向l上的单位向量，,当 时，,有最大值.,其中,由方向导数公式知,结论,x轴到梯度的转角的正切为,函数在某点的梯度是这样一个向量，,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值,梯度的模为,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截,得曲线,它在xoy面上投影方程：,等高线,称为等值线.,等值线,几何上，称为等高线.,例如,等值线,上任一点处的一个法向量为,表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，,它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等,梯度的模就等于函数在这个法线方向的,方向导数.,值线，,问题：,上山时，如何选择最快的方向？,计算方法课程中的一种计算策略：,“瞎子下山法”,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,解,由梯度计算公式得,故,则在,处梯度为,例4 求函数,在点,处的梯度，并问在何处梯度为零？,一、方向导数,（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）,小 结,1.定义,2.计算公式,二、梯度,（注意梯度是一个向量）,定义,方向：x轴到梯度的转角的正切,模：,三、方向导数与梯度的关系,方向与取得最大方向导数的方向一致,模为方向导数的最大值.,梯度：,其中,思考题,问函数在某点处沿什么方向的方向
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