离散型随机变量的数学期望(1).ppt

2.3.1 离散型随机变量的数学期望,2.3随机变量的数字特征,学习目标,1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望 理解期望公式 ，以及“若服从B（n,p），则E=np.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望,1、什么叫n次独立重复试验？,一.复习,一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与 ，每次试验中P(A)p0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。,2、什么叫二项分布？,若XB (n，p),一般地，设离散型随机变量可能取的值为 x1，x2，xi， 取每一个值xi(i1，2，)的概率P(xi)pi，则称下表,为随机变量的概率分布，,由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：,(1)pi0，i1，2，； (2)p1p21,3、离散型随机变量的概率分布,二.问题,1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：,如何比较甲、乙两个工人的技术？,对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.,1、数学期望的定义和计算公式,若离散型随机变量X的分布列为：,则称： EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。 它反映了离散型随机变量取值的平均水平。,三、讲授新课,E(X1)00.710.120.130.10.6,E(X2)00.510.320.2300.7,对于问题1,由于E(X1)E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。,问题1、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：,如何比较甲、乙两个工人的技术？,例1 假如你 是一位商场经理，在五一那天 想举行促销活动，根据统计资料显示，若 在商场内举行促销活动，可获利2万元；若 在商场外举行促销活动，则要看天气情况: 不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万 元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%， 你应选择哪种促销方式？,解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效 益为 万元，则 的分布列为,E = 100.6(4) 0.4 = 4.4万元,2万元,故应选择在商场外搞促销活动。,1、随机变量的分布列是,(1)则E= .,2、随机变量的分布列是,2.4,E=7.5,则a= b= .,0.4,0.1,变式,例2,在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？,解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以：EX=1P(X=1)+0P(X=0)=0.7,如果随机变量X服从两点分布， 那么 EX= p,2、两点分布的期望公式,E =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0,P(=k)= Cnkpkqn-k,证明：,=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np,( k Cnk =n Cn-1k-1),探究 ：若B(n，p)，则E=,若XB (n，p)，则 EX= n p,3、二项分布的期望公式,不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分,例3.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.,解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和,则,B(20,0.9),B(20,0.25)，,所以E200.918，,E200.255,由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5和5.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5)5E51890，,E(5)5E5525,思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?,变式 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢这场赌博对你是否有利?,对你不利!劝君莫参加赌博.,E=,例4:（2009上海） 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x 表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是 （结果用最简分数表示）,4、超几何分布的期望公式,变式,一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。,E(X)= =2,课堂总结,（1）、EX表示X所表示的随机变量的均值； EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望。 （2）、两点分布：EX= p （3）、二项分布：EX= n p （4）、超几何分布 （