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文档简介

第二节 偏导数,一、 偏导数概念及其计算,二 、高阶偏导数,一、 偏导数定义及其计算法,研究二元函数,关于一个变量的,变化率问题.,定义,在点,存在,的偏导数，记为,的某,则称此极限为函数,邻域内极限,设函数,同样可定义对y的偏导数：,还可记为,例如, 三元函数u = f (x , y , z)在点(x , y , z)处,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,对x的偏导数定义为,(请自己写出),若函数z = f ( x , y )在域D 内每一点( x , y )处,则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为,对x或y偏导数存在,注意:,求偏导数实际上是把其余自变量看作常数而对,一个变量求导数,即一元函数求导数.,例1 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,例2 设,证,求证,例3 求,的偏导数 .,解,由对称性得,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点M0 处,对x轴的斜率.,在点M0 处的切线,对y轴的斜率.,是曲线,的切线,函数在某点各偏导数都存在,显然,例如,注意：,但在该点不一定连续.,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,二、高阶偏导数,若z = f (x , y)在域D 内的偏导（函）数,仍存在偏导数，,则称它们是函数z = f ( x , y )的,二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二,阶偏导数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如 z = f (x , y)关于x的三阶偏导数为,z = f (x , y)关于x 的n 1 阶偏导数 ,再关于y,的一阶偏导数为,例4 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,则,定理,说明:,本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,而初等函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导数可以选择方便,的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,(证明略),例5 证明函数,证,利用对称性 , 有,满足拉普拉斯方程,证:令,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理.,令,同样,在点,连续,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、偏导数的概念及有关结论,1.定义:,2.函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,3.混合偏导数连续,与求导顺序无关,小结,几何意义：,偏增量比的极限,二、偏导数的计算方法,1.求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,2.求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),对一个变量求导数,把其余变量暂时看作常数.,思考题,思考题解答,不能.,例如,作 业,1.（4）,（6）,（8）； 3；4; 5； 6（3）； 7； 9（2）,P.18 习题82,思考与练习,解答提示:,P73 题 5,P73 题 5 ,
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