《课件函数单调性》PPT课件.ppt

一、函数单调性及判别法,定理1,证,应用拉氏定理,得,例 1,又,解,函数单调减少；,函数单调增加.,注：,函数的单调性是一个区间上的性质，,完,数在这一区间上的符号来判定，,的导数符号来判别一个区间上的单调性.,要用导,而不能用一点处,单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,注意,区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.,例如，,例3,解,单调区间为,例 4,试证明：,证,作辅助函数,因为,又,所以,完,且,二、曲线的凹凸性与拐点,定义1 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一,点的切线的下方，则称曲线在此区间内是凸的，此区 间成为凸区间；如果在某区间内，曲线弧位于其上任 意一点的切线的上方，则称曲线在此区间内是凹的， 此区间成为凹区间。,此时 ；,二、曲线的凹凸性与拐点,问题:如用数学语言描述曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系.,定理2 设函数 在区间a,b内具有二阶导数，,（1） 如果在区间a, b内 ，则曲线在 区间a, b内是凹的；,（2） 如果在区间a, b内 ，则曲线在 区间a, b内是凸的；,定义2 连续曲线上凹弧和 凸弧的分界点称为曲线的拐点。,注意 （1）拐点是曲线上的点。,（2）拐点既然是凹凸分界点，则在拐点左右 邻近 异号，因而在拐点处 或 不存在。,例 5,解,因为,完,例 6,解,完,曲线的拐点及其求法,定义,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.,拐点的求法:,根据定义知,处异号,如,连续导数,则在这样的点处必有,此外,也可,综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的,曲线的拐点及其求法,综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的,步骤为:,(1),(2),并求出使,不存在的点;,(3),检查其邻近左、,确定曲线的凹凸,区间和拐点.,完,求函数的二阶导数,解出全部实根,令,对步骤(2)中求出的每一个点,例7,求曲线,的拐点及凹、凸的区间.,解,易见函数的定义域为,令,得,曲线的凹凸区间为,完,由,所以,凸区间为,拐点为,例 8,解,完,不存,在.,且,因此需要,在4的右侧邻近处,时,曲线的拐点.,实际上,由曲线的图形可见,确实是曲线的拐点,只不过该点处的切线为沿垂,方向的,故一阶导数、二阶导数都不存在.,例 8,解,完,不存,在.,且,因此需要,在4的右侧邻近处,时,曲线的拐点.,实际上,由曲线的图形可见,确实是曲线的拐点,只不过该点处的切线为沿垂,方向的,故一阶导数、二阶导数都不存在.,函数的极值,x1,x2,x3,x4,x5,函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.,三、函数的极值及其求法,对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点.,函数的极值是函数的 局部性质.,函数的极值,极值点本质上就是单调区间的 转换点，从增区间过渡到减区间， 形成极大值；反之，从减区间过渡 到增区间，形成极大值。,几点说明,（1）函数的极值是局域性的概念，最值是全域性概念对整个定义域而言。,（2）函数在一个区间上的极值可能不唯一，且其中的极大值未必比极小值大。,（3）函数的极值只能在区间内部取到。,设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0)0.,驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的实根)称为函数f(x)的驻点.,定理3(必要条件),思考: 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？,极值点不一定是驻点. 如y=|x|,x=0是极值点,但不可导 驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点,但不是极值点.,即在可导的情况下：极值点 驻点,定理4 极值存在的第一充分条件（极值第一判别法）,设函数 在点 的某个邻域内可导（点 可除外）,则 在点 处取得极大值；,则 在点 处取得极小值；,则 在点 处无极值；,函数极值的求法,综上所述,可将求函数极值的步骤总结如下:,(2),(1),(3),确定极值点;,(4),完,，并求导数,求驻点,检查 在 左右的正负号,求出函数极值.,解,列表讨论如下：,所以,完,图形如下,解,函数 在 内连续,除,外处处可导 ,且,不可导点;,列表讨论如下:,解,列表讨论如下:,极大值为,极小值为,不存在,完,定理5 极值存在的第二充分条件（极值第二判别法）,解,令,得驻点,又,故极大值,故极小值,注意,时,值,在点 处不一定取极,仍用第一充分条件进行判断.,函数的不可导点,完,也可能是函数的极值点.,解,由,得驻点,因,值,极小值为,因,故用定理3无法判别.,考察一阶导数 在驻点,及 左右邻近的符号: