《隐函数有求导法则》PPT课件.ppt

一、一个方程的情形,二、方程组的情形,8.5 隐函数的求导法则,一、一个方程的情形,隐函数存在定理1,设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有,例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,解,设F(x, y)x2y21,Fx2x, Fy2y,F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.,隐函数存在定理1:,则,设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0).,由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).,解,设F(x, y)x2y21,Fx2x, Fy2y,F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.,则,由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).,提示:,.,例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,解,设F(x, y)x2y21,Fx2x, Fy2y,F(0, 1)0, Fy(0, 1)20.,则,由隐函数存在定理, 方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x).,;,例1 验证方程x2y210在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x), 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值.,隐函数存在定理2,设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有,令F(x y z)z33xyza3 则,解 :,由方程F(x, y, z)0确定的隐函数zf(x, y)的偏导数为,例2 设z33xyza3 求 .,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,二、方程组的情形,在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能确定一对二元函数uu(x, y), vv(x, y).,例如, 方程xu-yv=0和yuxv=1可以确定两个二元函数,事实上,能否根据原方程组求uu(x, y), vv(x, y)的偏导数？,设方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0确定一对具有连续偏导数的二元函数uu(x, y), vv(x, y), 则,二、方程组的情形,在一定条件下方程组F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0能确定一对二元函数uu(x, y), vv(x,