高中数学 第1部分 第一章 4 41 42 任意角的正弦函数余弦函数的定义 单位圆与周期性课件 北师大版必修

第一章,4 4.1 & 4.2,理解教材新知,把握热点考向,应用创新演练,知识点一,知识点二,考点一,考点二,考点三,知识点三,考点四,问题2：如图，若锐角的顶点在原点， 始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于 点P(u，v)，试想的正、余弦函数值可以用 P点的坐标表示吗？ 提示：可以，sin v，cos u.,1正弦、余弦函数的定义 对于任意角，角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的 叫作角的正弦函数，记作 ；点P的 叫作角的余弦函数，记作 .,纵坐标v,vsin ,横坐标u,ucos ,2正弦、余弦函数的定义域、值域,R,R,1,1,1,1,问题1：试利用三角函数的定义判定sin 在什么情况下函数值为正？ 提示：的终边在第一、二象限或y轴正半轴上 问题2：cos 在什么情况下为负数？ 提示：的终边在第二、三象限或x轴负半轴上,正、余弦函数在各象限的符号,问题1：我们知道30与390的终边相同，试想两角的同一三角函数值相等吗？ 提示：相等 问题2：终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？ 提示：都相等因两角终边相同，其终边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等,问题3：试想问题2，说明了什么？ 提示：正、余弦函数都有周期现象，即在自变量x上加上或减去2的整数倍，其函数值不变,1正(余)弦函数值的周期性 (1)公式：sin(xk2) ，kZ； cos(xk2) ，kZ. (2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别 ,sin x,cos x,相等,2周期函数 (1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT) ，把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的 (2)最小正周期：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个 ，就称它为最小正周期,f(x),周期,最小的正数,1sin 与cos 值的大小只与角终边与单位圆交点P的坐标(u，v)有关，其中sin v，cos u. 2sin 不是sin与的积，是一个三角函数的记号，是一个整体 3sin 与cos 的值的符号取决于的终边所在的象限 4由周期函数的定义知，若一函数是周期函数，则它的周期有无数多个，一般研究时只考虑其最小正周期,思路点拨 利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin ，cos .,答案 B,一点通 利用定义求的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标(u，v)，由三角函数的定义，得sin v，cos u.,2已知角的终边在射线y2x(x0)上，求角的正弦、 余弦值,例2 (1)是第二象限角，判断sin cos 的正负； (2)若sin cos 0，判断是第几象限角 思路点拨 (1)根据角所在的象限，判定各函数值的符号，再确定积的符号；(2)由积的符号得到sin ，cos 的符号，确定是第几象限角,一点通 1由角的终边所在象限可判断角的函数值的符号，因此可判断因式的符号 2由三角函数符号确定角的终边所在象限时，应首先依据题目中所有三角函数值的符号，分别确定角的终边所在的象限，则它们的公共部分即为所求,答案：(1) (3) (4),解析：显然的终边不在坐标轴上当为第一象限角时，sin 0，cos 0，原式2；同理当为第二或第四象限角时，原式0；当为第三象限角时原式2. 答案：D,思路点拨 先利用终边相同的角的公式转化，然后求值,一点通 利用公式sin(2k)sin ，cos(2k)cos (kZ)，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为02间的角的正弦、余弦函数值问题从该公式可以看出，在求三角函数值的时候，2，360的整数倍可以直接去掉，从而方便化简或计算,思路点拨 (1)利用周期函数的定义可证； (2)由sin(2k)sin ，cos(2k)cos (kZ)可求值,一点通 利用正弦、余弦函数的周期性可以把任意角的正、余弦函数值转化为(0,2)间的正、余弦函数值问题，从而方便化简或计算,7已知函数f(x)是周期函数，周期T6，f(2)1，则f(14) _. 解析：f(14)f(262)f(2)1. 答案：1,1利用定义求的正弦值与余弦值时，注意结合图形求出的终边与单位圆的交点坐标，即得值 2正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦 3正、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等 作用是把求任意角的三角函数