《高阶线性解的结构》PPT课件.ppt

7.6 内容回顾,可降阶微分方程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,连续 n 次不定积分(且不要常数),为n -1次多项式.,两点说明：,1. 方程,的求解 ?,令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意：,(1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,7.7 高阶线性微分方程解的结构,二、线性方程解的结构,*三、常数变易法,一、高阶线性微分方程的概念,第七章,(只讲一到两个例子),n 阶线性微分方程的一般形式为,一、高阶线性微分方程的概念,为二阶线性微分方程.,时, 称为n阶线性非齐次方程 ;,时, 称为n阶线性齐次方程.,复习: 一阶线性方程,通解:,非齐次方程的特解,对应齐次方程通解Y,(未知的函数及各阶导数均为一次称线性),二、线性方程解的结构,是 的解.,定理1.,(以二阶为例),设,(1)的解,设,(2)的解,(1),为任意实常数,是 的解.,是 的解.,是 的解.,是 的解.,(1),(1),(2),(1),是,的解,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何区间 I 上都线性相关;,又如，,若在某区间 I 上,则根据二次多项式至多只有两个零点 ,必需全为 0 ,可见,在任何区间 I 上都 线性无关.,若存在不全为 0 的常数,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0, 则,必线性,相关,y1(x), y2(x) 均非零, 否则线性相关,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,数) 是该方程的通解.,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y (x) 是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解 .,证: 将,代入方程左端, 得,(3),(2),是非齐次方程的解,又Y 中含有,两个独立任意常数,例如, 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,因而 (3) 也是通解 .,(如何得通解,见下节 或降阶处理),定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),前面的定理均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数, 则该方程的通解是 ( ).,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例1.,注:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关 .,为原方程的通解,例2.,已知微分方程,个解,则方程的通解 为( ),解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,有三,思考与练习,P331 题1, 3, 4(2), (5),（ P353 题3）,（ P353 题3）(7)(8)除外)(转化为已知类型),令 u = x y , 化成可分离变量方程 :,提示: 这是一阶线性方程 , 其中,提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程,解法提示:,提示:,(一阶齐次),(伯努利),(可分离),提示: 为伯努利方程 , 令,提示: 可化为伯努利方程,令,( (7)(8)为高阶线性方程),提示:,伯努利方程,原方程化为, 即,则,故原方程通解,提示: 令,解:,给出以,(a,b为任意常数)为通解的微分方程,(1),(2),(1)+(2)得:,即,(2)2(1)得:,(3),(4),将(3),(4)式代入得:,即,即,作业:P353 2,备用题1.,的解,解:,(1)显然正确,(2)令,代入非齐次方程后化简得,可求得通解:,故原方程通解为,(二阶常系数非齐次方程),(1)验证,是,(2)并求,的通解,备用