数学课件：二次函数根的分布.ppt

二次函数的性质,免费下载！,有两相等实根x1x2-,有两相异实根： x1,2,xx1或xx2,x1xx2,空 集,空 集,全体实数,没有实根,所有不等于 的实数,yax2bx与yaxb (ab)的图像只能是（ ） ,课前练习,C,2已知二次函数yax2bxc的系数满足abc,则它的图像可能是（ ）,B,3若函数f(x)x2xp的最小值为,则p的值是（ ） . . . .,4若二次函数f(x)x2xt的图像顶点的纵坐标等于，则t的值是（ ） . . . .,5已知函数f(x)mx2mxm 的图像如图所示，则实数m的取值范围 是（ ） .m .m .m .m,C,B,A,6. 设二次函数f(x)=x2x+a(a0),若f(m)0,则f(m-1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能,A,在已知某些条件求二次函数式的解析式时，常用待定系数法常见的二次函数的表示形式有（a0）：,标准式：yax2bxc；,顶点式：ya(xk)2m；,零点式：ya(xx1)(xx2).(式中x1、 x2为方程ax2bxc0的二根).,例 已知二次函数yf(x)有最小值，且当x和x时f(x)的值都是 ，求f(x),设f(x)ax2bxc,由题设得,解:,解法一:, f(x)x2x ,解二 f（）f（） ， 抛物线yf(x)的对称轴为x ，即x ， 故其顶点坐标为（ ，）,设 f(x)a(x )2, f(2)a (2,), a,., f(x)x2x ,解三 由已知，x和x是一元二次方程f(x) 的两个实数根,设 f(x) a(x)(x), 则 f(x)a(x)(x) ,又当x 时，f( ), a( )( ) ， a ， a, f(x)(x)(x)x2x ,例2 已知函数f(x)x2bxc，且f(0)3，f(1x)f(1x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。,a,b,f(x)为二次函数，f(a)=f(b) ,f(x)的对称轴为,f(x)为二次函数，f(cx)=f(c - x) ,f(x)的对称轴为x=c,若x0,若x=0，,则12x3x, f(2x) f(3x),则12x3x, f(2x) f(3x),则12x3x，,若x=0，,综上所得，f(2x) f(3x)。,例3 已知二次函数f(x)x2bxc，当x1，1时，试证： (1)当b2时，f(x)是递减函数； (2)当b2时，f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|成立。,证明：(1)f(x)x2bxc(x )2c ， 抛物线的对称轴x ， 当 b2时, 1(如图) 当b2时， f(x),x1，1是递减函数。,(2)假设在x1，1内在存在|f(x)| ，则有 f(x) f(1)1bc ，f(1)1bc,联立解得b 与已知b2相矛盾，假设不成立，原命题成立。,设f(x)ax2bxc (a), 则一元二次方程f(x)实根的分布情况可以由yf(x)的图象或由韦达定理来确定 如果f(m) f(n) (mn),由二次函数yf(x)的图像知，一元二次方程f(x)在区间（m,n）内必有一个实数根,例：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根，求实数m的取值范围。,变1：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2，求实数m的取值范围。,变2：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2，求实数m的取值范围。,变3：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，一个小于2，另一个大于2，求实数m的取值范围。,变4：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，且x1、x2(-1,3)，求实数m的取值范围。,变5：已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根，求x12+x22的取值范围。,二次方程f(x)的两实根x1、x的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1xm ，则应有 b2ac， f(m)， m， b2ac， 或 (x1m)(x2m)， (x1m)(x2m),x1,x2,m,二次方程f(x)的两实根x1、x的分布情况，可有如下几种（m、n为常数）： (1)若x1xm ，则应有 b2ac， f(m)， m， b2ac， 或 (x1m)(x2m)， (x1m)(x2m),x1,x2,m,(3)若x1mx2，则应有 f(m)，或 (x1m)(x2m),x1,x2,m,(4)若mx1x2n，则应有 b2ac， f(m)， f(n)， m n.,x1,x2,m,n,(5)若x1mnx2，则应有 f(m)， f(n),x1,x2,m,n,例4 已知方程(m)x2mx至少有一个正根，求实数m的范围,解: 若m,方程