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二次函数的性质,免费下载!,有两相等实根x1x2-,有两相异实根: x1,2,xx1或xx2,x1xx2,空 集,空 集,全体实数,没有实根,所有不等于 的实数,yax2bx与yaxb (ab)的图像只能是( ) ,课前练习,C,2已知二次函数yax2bxc的系数满足abc,则它的图像可能是( ),B,3若函数f(x)x2xp的最小值为,则p的值是( ) . . . .,4若二次函数f(x)x2xt的图像顶点的纵坐标等于,则t的值是( ) . . . .,5已知函数f(x)mx2mxm 的图像如图所示,则实数m的取值范围 是( ) .m .m .m .m,C,B,A,6. 设二次函数f(x)=x2x+a(a0),若f(m)0,则f(m-1)的值为( ) A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能,A,在已知某些条件求二次函数式的解析式时,常用待定系数法常见的二次函数的表示形式有(a0):,标准式:yax2bxc;,顶点式:ya(xk)2m;,零点式:ya(xx1)(xx2).(式中x1、 x2为方程ax2bxc0的二根).,例 已知二次函数yf(x)有最小值,且当x和x时f(x)的值都是 ,求f(x),设f(x)ax2bxc,由题设得,解:,解法一:, f(x)x2x ,解二 f()f() , 抛物线yf(x)的对称轴为x ,即x , 故其顶点坐标为( ,),设 f(x)a(x )2, f(2)a (2,), a,., f(x)x2x ,解三 由已知,x和x是一元二次方程f(x) 的两个实数根,设 f(x) a(x)(x), 则 f(x)a(x)(x) ,又当x 时,f( ), a( )( ) , a , a, f(x)(x)(x)x2x ,例2 已知函数f(x)x2bxc,且f(0)3,f(1x)f(1x)试比较f(2x)与f(3x)的大小。,a,b,f(x)为二次函数,f(a)=f(b) ,f(x)的对称轴为,f(x)为二次函数,f(cx)=f(c - x) ,f(x)的对称轴为x=c,若x0,若x=0,,则12x3x, f(2x) f(3x),则12x3x, f(2x) f(3x),则12x3x,,若x=0,,综上所得,f(2x) f(3x)。,例3 已知二次函数f(x)x2bxc,当x1,1时,试证: (1)当b2时,f(x)是递减函数; (2)当b2时,f(x)在定义域内至少存在一个x,使|f(x)|成立。,证明:(1)f(x)x2bxc(x )2c , 抛物线的对称轴x , 当 b2时, 1(如图) 当b2时, f(x),x1,1是递减函数。,(2)假设在x1,1内在存在|f(x)| ,则有 f(x) f(1)1bc ,f(1)1bc,联立解得b 与已知b2相矛盾,假设不成立,原命题成立。,设f(x)ax2bxc (a), 则一元二次方程f(x)实根的分布情况可以由yf(x)的图象或由韦达定理来确定 如果f(m) f(n) (mn),由二次函数yf(x)的图像知,一元二次方程f(x)在区间(m,n)内必有一个实数根,例:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个不相等的正根,求实数m的取值范围。,变1:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都大于2,求实数m的取值范围。,变2:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根都小于2,求实数m的取值范围。,变3:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根,一个小于2,另一个大于2,求实数m的取值范围。,变4:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根,且x1、x2(-1,3),求实数m的取值范围。,变5:已知方程x2-2(m+2)x+m2 -1=0有两个实根,求x12+x22的取值范围。,二次方程f(x)的两实根x1、x的分布情况,可有如下几种(m、n为常数): (1)若x1xm ,则应有 b2ac, f(m), m, b2ac, 或 (x1m)(x2m), (x1m)(x2m),x1,x2,m,二次方程f(x)的两实根x1、x的分布情况,可有如下几种(m、n为常数): (1)若x1xm ,则应有 b2ac, f(m), m, b2ac, 或 (x1m)(x2m), (x1m)(x2m),x1,x2,m,(3)若x1mx2,则应有 f(m),或 (x1m)(x2m),x1,x2,m,(4)若mx1x2n,则应有 b2ac, f(m), f(n), m n.,x1,x2,m,n,(5)若x1mnx2,则应有 f(m), f(n),x1,x2,m,n,例4 已知方程(m)x2mx至少有一个正根,求实数m的范围,解: 若m,方程
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