人大版,贾俊平,第五版,统计学第4章数据的概括性度量.ppt

第4章 数据的概括性度量,4.1集中趋势的度量,一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所掌握的数据的类型来确定,4.1.1 分类数据：众数 集中趋势的测度值之一 出现次数最多的变量值 不受极端值的影响 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值型数据,1.根据第三章例3.3中的数据，计算众数 2.根据第三章例3.5中的数据，计算众数 3.数值型分组数据的众数,算例,4.1.2 顺序数据：中位数和分位数 1.中位数 集中趋势的测度值之一 排序后处于中间位置上的值 不受极端值的影响 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即,计算公式,原始数据: 24 22 21 26 20,位 置: 1 2 3 4 5,中位数的计算,排 序: 20 21 22 24 26,原始数据: 10 5 9 12 6 8,位 置: 1 2 3 4 5 6,排 序: 5 6 8 9 10 12,中位数=（8+9）/2=8.5,中位数的位置=50/2=25，即中位数在120125这一组，L=120，Sm 1 = 16，U=125，Sm + 1 = 20，fm = 14，d=5，根据中位数公式得：,2.四分位数 人们经常会将数据划分为4个部分，每一个部分大约包含有1/4即25的数据项。,1.集中趋势的测度值之一 2.排序后处于25%和75%位置上的值 3.不受极端值的影响 4.主要用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据,四分位数(位置的确定),未分组数据：,组距分组数据：,计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位数,解：下四分位数(QL)的位置为： QL位置(300)/475 上四分位数(QL)的位置为： QU位置(3300)/4225 从累计频数看， QL在“不满意”这一组别中； QU在“一般”这一组别中。因此 QL 不满意 QU 一般,原始数据: 23 21 30 32 28 25 26 排 序: 21 23 25 26 28 30 32 位 置: 1 2 3 4 5 6 7,QL= 23,QU = 30,数值型未分组数据的四分位数,原始数据: 23 21 30 28 25 26 排 序: 21 23 25 26 28 30 位 置: 1 2 3 4 5 6,QL= 21+0.75(23-21) = 22. 5,QU = 28+0.25(30-28) = 28.5,数值型分组数据的四分位数(计算公式),上四分位数:,下四分位数:,计算50 名工人日加工零件数的四分位数,QL位置50/412.5,QU位置350/437.5,4.1.3 数值型数据：平均值 1.集中趋势的测度值之一 2.最常用的测度值 3.一组数据的均衡点所在 4.易受极端值的影响 5.用于数值型数据，不能用于定类数据和定序数据,均值(计算公式),设一组数据为：X1 ，X2 ， ，XN 简单均值的计算公式为,设分组后的数据为：X1 ，X2 ， ，XK 相应的频数为： F1 ， F2， ，FK 加权均值的计算公式为,简单均值(算例),原始数据: 10 5 9 13 6 8,加权均值（算例4.7）,加权均值(权数对均值的影响) 甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组： 考试成绩（X）：0 20 100 人数分布（F）：1 1 8 乙组： 考试成绩（X ）: 0 20 100 人数分布（F ）：8 1 1,均值(数学性质),1. 各变量值与均值的离差之和等于零,2. 各变量值与均值的离差平方和最小,几何平均数(概念要点),1. 集中趋势的测度值之一 2. N 个变量值乘积的 N 次方根 3. 适用于特殊的数据 4. 主要用于计算平均发展速度 5. 计算公式为,6. 可看作是均值的一种变形,几何平均数(算例),【例4.10】一位投资者持有一种股票，2001-2004年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。,平均收益率108.0787%-1=8.0787%,4.1.4众数、中位数和均值的比较 1.众数、中位数和均值的关系,4.2 离散程度的度量,数据分布的另一个重要特征 离中趋势的各测度值是对数据离散程度所作的描述 反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势 从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度 不同类型的数据有不同的离散程度测度值,4.2.1 分类数据：异众比率,1. 离散程度的测度值之一 2. 非众数组的频数占总频数的比率 3. 计算公式为,4. 用于衡量众数的代表性,异众比率(算例) 根据表中的数据，计算异众比率,解： 在所调查的200人当中，关注非商品广告的人数占44%，异众比率还是比较大。因此，用“商品广告”来反映城市居民对广告关注的一般趋势，其代表性不是很好,4.2.2 顺序数据：四分位差 1. 离散程度的测度值之一 2. 也称为内距或四分间距 3. 上四分位数与下四分位数之差 QD = QU - QL 4. 反映了中间50%数据的离散程度 5.不受极端值的影响 6.用于衡量中位数的代表性,四分位差(定序数据的算例),根据表中的数据，计算甲城市家庭对住房满意状况评价的四分位差,解：设非常不满意为1,不满意为2, 一般为3, 满意为 4, 非常满意为5 已知 QL = 不满意 = 2， QU = 一般 = 3 四分位差： QD = QU - QL = 3 2 = 1,4.2.3 数值型数据：方差和标准差 1.极差,1. 一组数据的最大值与最小值之差 2. 离散程度的最简单测度值 3. 易受极端值影响 4. 未考虑数据的分布,未分组数据 R = max(Xi) - min(Xi),5. 计算公式为,2. 平均差,1. 离散程度的测度值之一 2. 各变量值与其均值离差绝对值的平均数 3. 能全面反映一组数据的离散程度 4. 数学性质较差，实际中应用较少,5. 计算公式为,未分组数据,组距分组数据,平均差（计算过程及结果）,某厂按月收入水平分组的组距数列如表中前两列，计算平均差。,3.方差和标准差 离散程度的测度值之一 最常用的测度值 反映了数据的分布 反映了各变量值与均值的平均差异 根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差,总体方差和标准差(计算公式),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,总体标准差（计算过程及结果）,根据表中的数据，计算工人日加工零件数的标准差,样本方差和标准差(计算公式),未分组数据：,组距分组数据：,未分组数据：,组距分组数据：,方差的计算公式,标准差的计算公式,样本方差自由度 一组数据中可以自由取值的数据的个数 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值 例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差2时，它是2的无偏估计量,样本方差与标准差(算例),原始数据: 10 5 9 13 6 8,方差(简化计算公式),样本方差,总体方差,方差(数学性质) 各变量值对均值的方差小于对任意值的方差 设X0为不等于X的任意数，D2为对X0的方差，则,4.相对位置的度量 （1）标准分数 给出某一个值在一组数据中的相对位置 可用于判断一组数据是否有离群点 用于对变量的标准化处理 计算公式为,（2）经验法则 当一组数据对称分布时，经验法则表明 约有68%的数据在平均数1个标准差的范围之内 约有95%的数据在平均数2个标准差的范围之内 约有99%的数据在平均数3个标准差的范围之内,（3）切比雪夫不等式 在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K2。,4.2.4 相对离散程度：离散系数 1. 标准差与其相应的均值之比 2. 消除了数据水平高低和计量单位的影响 3. 测度了数据的相对离散程度 4. 用于对不同组别数据离散程度的比较 5. 计算公式为,离散系数（实例和计算过程） 例4