弹塑性力学的数学基础

第一章 弹塑性力学的数学基础,在弹塑性力学中经常采用矢量和张量符号，这些符号具有简洁的优点,可以将各种力学关系用简明的数学形式表示出来。这样，就可以将大部分注意力集中在物理原理上而不是方程本身。,1.1.1标量场的梯度 1.1.2矢量场的散度 1.1.3矢量场的旋度,1.1 矢量,1.1.1 标量场的梯度,假定在空间某区域定义一个标量函数 ，那么可以得到 别对三个坐标的导数，,其中，三个 为矢量 的分量，称为 的梯度，它描述了标量场变化最大的方向和最大的变化率,也可表示为,即,1.1.1 标量场的梯度,可以证明， 垂直于 的曲面。,算子矢量 自身没有实际意义，而是一种方便运算的符号。,1.1.2 矢量场的散度,算子 与一个矢量V 的点积定义为这个矢量场的散度,是一个标量；不像矢量那样有三个分量。,由于 不存在，因而点积 不能互相交换：,1.1.3 矢量场的旋度,与 的叉积可写成 的形式，称之为 的旋度。,如果 的偏导数存在，可以证明,称为 的拉普拉斯算子。,(4) 泊松方程,(2) 拉普拉斯方程,(1) 热传导方程,1.2 常见的数学物理方程,(3) 波动方程,一维热传导方 程的展开形式,波动方程的 展开形式,介绍与张量有关的几个记法和概念：,1.3.1 指标记法 1.3.2 求和约定 1.3.3 微分的记法 1.3.4 符号 1.3.5 符号（置换符号） 1.3.6 笛卡尔张量的定义 1.3.7 张量性质,1.3 张 量,1.3.1 指标记法,一个矢量 可采用不同的方式表示：,矢量的指标记法,1.3.2 求和约定,举例说明求和约定的规则。考虑下面的方程组：,作为第一步缩写，可以写成：,最后可以缩写为：,其中 称为自由标， 称为哑标。,第一行,第二行,第三行,关于下标的约定可以总结为以下三条规则： 1. 如果在一个方程或表达式的一项中，一种下标只出现一次，则称之为“自由指标”，自由指标在表达式或方程的每一项中必须只出现一次。 2. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标正好出现两次，则称之为“哑标”，它表示从1到3求和。哑标在其他任何项中可以正好出现两次，也可以不出现。 3. 如果在一个表达式或方程的一项中，一种指标出现的次数多于两次，则是错误的。,1.3.3 微分的记法,矢量 的散度：,在上边的连等式中， 就是一种典型的微分记法。在下标中，第一个指标表示 的分量，逗号表示对第二个指标的偏导数，第二个指标对应于相应的坐标轴，所以,1.3.3 微分的记法,同理， 的梯度可作如下表示：,偏导数的记法：逗号后面紧跟一个下标 i 时，表示某物理量对 x i 求偏导数。,利用偏导数的记法，偏导数均可缩写为：,偏导数的记法,1.3.4 符号,称为Kronecker符号，也称置换算子。 后一名称源于下式:,在将 作用于 时,只是将 中的 用 置换；,对于单位矢量，当 时, 点积 ； 当 时，点积 。 这正好与 的 分量一致，因此有,显然,运算规律,Kronecker符号,1.3.5 符号（置换符号）,符号有27个元素，这些元素根据下标值规定为 +1， -1，0。例如 ， ，这种定义是根据将下标交换成1，2，3自然顺序所需交换的次数而定的。 若下标交换次数为偶数，则元素的值为1； 若下标交换的次数为奇数，则元素的值为-1； 若下标出现重复，则元素的值为0。,偶排列：有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字,对换次数为偶数而得到的排列； 奇排列：有序数组1，2，3逐次对换两个相邻的数字,对换次数为奇数而得到的排列。,1.3.5 符号（置换符号）,如,1.3.5 符号（置换符号）,采用图解法确定交错张量的符号。假设将数字1，2，3放在一个圆的圆周上， 如果下标是按顺时针方向排列，则符号为正， 如果下标是按逆时针方向排列，则符号为负。,置换符号为缩写提供了另一种方法，如：,同理有,在证明时，可以省去证明冗长的中间步骤，如表达式 ，由于下标 必须互不相同，所以可 能的组合有 。 因而,用同样的方法可以证明其他两项。,下面用一个例子来说明置换符号的用途： 例：利用指标证明,其中 为一标量函数。,证：,对于 ，表达式 产生 矢量的一个分量。 对于 ，非零项为 和 。 所以,对于 ，可得到同样的结果，,得证。,1.3.6 笛卡尔张量的定义,有些量既不是矢量也不是标量。例如物体的转动惯量。引入与物体转动惯量有关的量 。当坐标系转动时，此量按下式变化,引入张量的概念。如果每个笛卡尔坐标系都有 个数 与之对应，且这些数当笛卡尔坐标系变到另一个时，按规律,变化则这 个数全体就称为三维空间中的二阶张量。 ：是 过渡到新坐标系的系数。,一阶张量：,二阶张量：,三阶张量：,张量可以有任意阶，从以上表达式中可以得出张量一般的变换规则。由于受笛卡尔坐标系的限制，所以这些张量称为笛卡尔张量。,同理可定义其它阶张量,在高等数学中有坐标的旋转变换，如下图中所示：,可以证明如下结论：,old,new,2.一个三阶张量与一个二阶张量相乘，构成一个五阶张量。 证明：,则,令,所以,为五阶张量。,3.三阶张量缩并成一阶张量,证明：,因为,所以,又因为,所以,又,所以,因,则,得证。,二阶对称张量 反对称张量,任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对称张量和一个分对称张量之和。 张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶以上高阶张量。,泛函和泛函的极值,泛函：函数值依赖于其它的一个或者几个函数 变分法：求泛函极值的方法。 泛函的极值条件：d J=0 2J0，则J0， 泛函 J y 为极小值； 2J0，则J0， 泛函 为极大值。,其它对于泛函 ，如果y(x)由 y0(x)变到 y1(x)则 y1(x) -y0(x) 叫做 y(x)在y0(x)上的变分。 记作 d J= y1-y0(x),泛函极值的必要条件-欧拉方程,化简括弧中第二项,在 x=x1 和 x=x2 时，有,