同济六版高数第四章第1节.ppt

4.1 不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质,微分法:,积分法:,互逆运算,一、原函数与不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念,原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.,原函数举例,所以sin x是cos x的原函数.,因为(sin x)cos x ,提问：,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,原函数存在定理,如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一xI 都有 F (x)f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数.,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,说明： 1. 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.,2. 函数 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 (x)F(x)C (C为某个常数).,证: 1),又知,故,即,属于函数族,即,不定积分中各部分的名称： - 称为积分号, f(x) - 称为被积函数, f(x)dx - 称为被积表达式, x - 称为积分变量.,不定积分的概念,在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作,根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)C就是f(x)的不定积分, 即,在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作,不定积分的概念,C 称为积分常数 不可丢 !,例1,因为sin x 是cos x 的原函数, 所以,如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则,例2,合并上面两式, 得到,解,如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则,例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为yf(x), 则曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为 yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数.,故必有某个常数C使f(x)x2C, 即曲线方程为yx2C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 21C, C1. 于是所求曲线方程为yx21.,因为,函数f(x)的积分曲线也有无限多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.,积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.,2x的积分曲线,例3. 质点在距地面,处以初速,力, 求它的运动规律.,解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),垂直上抛 ,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,故,微分与积分的关系 从不定积分的定义可知,又由于F(x)是F (x)的原函数, 所以,由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,二、基本积分表,例5,例4,例6,三、不定积分的性质,这是因为, f(x)g(x).,性质1,三、不定积分的性质,性质1,性质2,例7,例8,例10,三、不定积分的性质,性质1,性质2,例9,例11,例12,例13,tan xxC.,例14,例15,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,思考与练习,1. 若,提示:,2. 若,是,的原函数 , 则,提示:,已知,