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曲线积分与曲面积分,【例11.1】,设平面曲线 为下半圆周 ，则曲线积分,解：,的方程又可写成 被积函数在 上,取值，于是，,原积分,(半径为1的半圆周长),方法二，,方法一，,则,【例11.2】,计算,其中,是曲线,从A（1,0）到B（2,0）的一段弧,【解析】,选y为参数,x=1-,y:,【例11.3】,设 是平面 在第一卦线上的部分,，则,解析：,因为,所以,【例11.4】,设 其中 是,介于 和 下侧.,解：,取下侧,故曲线上任意一点处法向量,所以,【例11.5】,设,是由锥面,与半球面,【解析】,以,表示由,与,半球面,所围成的有界闭区域，有高斯公式得,【例11.6】,计算曲线积分,其中L是第一象限内从点A(0,1)到点B(1,0),的单位圆弧,【解析】,则,【例11.7】,计算,其中L为抛物线 上从点A（1，-1）到点,B(1,1)的一段弧,【解析】,将所给积分化为对y的定积分来计算，则,【例11.8】,计算曲线积分 其中L是以点（1,0）,为中心的，R为半径的圆周（R1),取逆时针方向。,【解析】,与Q（x,y)满足,作足够小的椭圆：,则由复连同域上格林公式有,备注： 本题的方法叫“挖洞法”,设P(x,y),Q(x,y)在以L为边界线的闭区域D内除 外有一阶连续,偏导数，且 则,【例11.9】,设函数f(u)具有连续的一阶导数，点A(1,1),B(3,3), 为以,为直径的左上半个圆弧，从A到B，求,【解析】,设P=,由题意：,添直线段自B至A,记为,3）备注：添加辅助线构成闭曲线,其中L+ 构成正向闭合曲线，P,Q所在L+ 所围成闭曲线内具有,连续一阶偏导数。,【例11.10】,计算,【解析】,设,为锥面,为z=1上,部分，,在xoy面投影为,则,所以,【例11.11】,计算,之间部分下侧,【解析】,原式=-,【例11.12】,计算曲面积分,其中 是由曲线,绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y轴正向的夹角恒大于,【解析】,积分曲线 的方程为,添加曲面,其法向量与y轴,正向相同，设 所围成的闭区域为 ，则有,其中D（y）:,3)注：添加:辅助曲面构成闭曲面,其中 构成闭曲面 指向 的外侧,【例11.13】,计算,的上侧。,【解析】添加,构成封闭曲面,令,所以原式=,【例11.14】,计算,被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的方向与这个三角形,上侧的法向量
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