微积分基本公式(1).ppt

,第二节 微积分基本公式,前面我们已经研究了定积分的定义,利用定义求定积分很不方便 本讲介绍计前算定积分的方法。,一, 引例,考察变速运动中路程函数s(t)与其导数-速度函数v(t)之间的关系物体在时间区间t0,T经过的路程,可以用,表示,具体的做法是把路程函数s(t)在t0,T之间分成n小段,在每一小段中用v(i)t表示,它们的和就是整个路程.当t0时的极限得到变速运动的路程,另一方面,这段路程又可以通过路程函数s(t)在区间t0,T上的增量S(T)-S(t0)来计算,S = S(T) - S(t0) 于是,而S(t)=v(t),(1)式表明:速度函数在区间t0,T上的定积分等于它的原函数S(t)在t0,T上的增量S=S(T)-S(t0),我们在(1)式中得到,(1)式把定积分和被积函数的原函数相互联系起来,如果是这样,那我们求定积分可以借助不定积分求出来.问题就显然得到解决.这个方法由牛顿和莱布尼茨 两人独立完成的,我们称为牛顿-莱布尼茨公式(它的证明在第3部分中.),为了更好的研究牛顿-莱布尼茨公式,我们引入“积分上限的函数”这个概念,二 积分上限的函数及其导数,设函数f(x)在区间a,b 上连续,且xa,b,则f(x)在部分区间a,x上也连续,从而可积,定积分的字母无关),(定积分同它自变量),存在,当x在区间a,b内变动时,则每一个x值对应,的一个值,在区间a,b上定义一个函数,这个函数是积分上限x的函数,称为变上限积分的函数. 定理1 设函数f(x)在区间a,b上连续,则变上限积分的函数在a,b上可微,且它的导数,变上限积分的函数是被积函数的一个原函数,所以,这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由原函数的定义,我们知道(x)是连续函数f(x)的一个原函数.因此,这里引出定理2 定理2 如果函数f(x)在区间a,b上连续,则函数,就是f(x)在a,b上的一个原函数,这定理的重要意义是:一肯定了连续函数的原函数是存在的.二.它初步揭开定积分和原函数之间的联系,我们可以用原函数来计算定积分,这里我们补充定理1的3个推理,例1 求下列导数,例3 求极限,当x 0时,为0/0型.用罗必塔法则,其中,当x0时,sinx x,arctgx x,三 微积分基本公式-牛顿-莱布尼茨公式,Newton-Leibniz 设F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数,则,证明: 根据定理1我们得到,此定理表明:在某区间a,b上,连续函数f(x)的定积分等于它的任意一个原函数在该区间的增量F=F(b)-F(a).这样我们将求定积分的问题化为求原函数或计算不定积分,这是计算定积分的主要方法. 我们称为微积分的基本公式.,例4,例5,例6 计算,分析:计算被积函数有绝对值时,可将被积函数化为分段函数再积分.,例7 求极限,分析: 求这类和式的极限,可将其转化为积分和的极限,再用定积分计算.记原式为,将区间0,1作n等分,则1/n=xi (i=1,2,3.n),这时n相当于=xi0;取=i/n为每个小区间xi的右端点;由于函数1/(1+x2)在区间0,1上连续,从而可积,于是积分,与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一 来,原式,例8 计算 1.cosxdx. 2.0/2 cosxdx. 3.0x cosxdx,并由此说明 不定积分,定积分,变上限定积分三者之间的关系. 解:,分析:不定积分.cosxdx表示cosx的原函数的全体. 定积分表示一个数,它是cosx的任一个原函数在x=/2和x=0两处函数值的差. 变上限定积分是上限变量x的函数,也是cosx的一个原函数. 若记变上限定积分为(x),那么定积分的值就是(x)在x= /2处的函数值.三者之间有差别又有联系.,例9 下列计算是否正确?若有错请改正.,在整个数轴上都是连续的,故变上限定积分对上限变量x求导数,就等于被积函数在上限变量x处的值.(2)是错误的.这里的上限为x2.因此必须利