模块第三讲(简单的逻辑联结词全称量词与存在量词).ppt

第三讲 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词,走进高考第一关 基础关,教 材 回 归 1. 逻辑联结词 命题中的_叫逻辑联结词.,或,且,非,2. 命题pq,pq,p的真假判断,真,真,假,假,真,假,假,真,真,假,假,真,注意:p与q全真时,pq为真,否则,pq为假. p与q全假时,pq为假,否则,pq为真. p与p必定是一真一假.,3. 全称量词存在量词 (1)全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_,并用符号_表示.含有全称量词的命题,叫做_,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作_.,全称量词,全称命题,xM,p(x),(2)存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_,并用符号_表示.含有存在量词的命题,叫做_,特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”简记作_.,存在量词,特称命题,xM,p(x),(3)两种命题的关系 全称命题的否定是_; 特称命题的否定是_.,特称命题,全称命题,注意: 同一个全称命题特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.,考 点 陪 练 1.“xAB”不成立,是指( ) A. xA且xB B. xA或xB C. xAB D. xAB,答案:B,2.“三个数a,b,c均为零”的否定是( ) A. a,b,c均不为零 B. a,b,c至多一个是0 C. a,b,c至少一个是0 D. a,b,c不全为0,答案:D,3. 下列命题不是全称命题的是( ) A. 在三角形中,三内角之和为180 B. 对任意非正数c,若ab+c,则ab C. 对于实数a,b,|a-1|+|b-1|0 D. 存在实数x,使x2-3x+2=0成立,答案:D,4.下列全称命题中假命题的个数是( ) 2x+1是整数(xR); 对所有的xR,x20; 对任意一个xZ,2x2+1为奇数. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,答案:C,5.(教材改编题)对命题“xR,x2-2x+40”的否定正确的是( ) A. xR,x2-2x+40 B. xR,x2-2x+40 C. xR,x2-2x+40 D. xR,x2-2x+40,答案:C,解读高考第二关 热点关,类型一:含有逻辑联结词的命题真假判定,解题准备: 解决该类问题基本步骤为: 1. 弄清构成它的命题pq的真假; 2. 弄清它的结构形式; 3. 根据真值表判断构成新命题的真假.,典例1(直接法)分别指出由下列命题构成的“pq”“pq”“p”形式的命题的真假. (1)p:42,3,q:22,3. (2)p:1是奇数,q:1是质数. (3)p:0,q:x|x2-3x-52.,分析据或且非命题的形式及其真假规律直接判断.,解：(1)p是假命题,q是真命题, pq为真,pq为假,p为真. (2)1是奇数, p是真命题, 又1不是质数, q是假命题, 因此pq为真,pq为假,p为假.,(4)显然p:55为真命题,q:27不是质数为真命题, pq为真命题,pq为真命题,p为假命题. (5)x2+2x-80, (x+4)(x-2)0, 即-4x2, x2+2x-80的解集为x|-4x2, 命题p为真,q为假. pq为真,pq为假,p为假.,评析：“”意思是“-4”且“x2”, 对含有逻辑联结词“且”,“或”的命题的否定,逻辑联结词应分别变为“或”,“且”.,类型二:全(特)称命题真假的判定,解题准备: 1. 要判定全称命题是真命题,需对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题; 2. 要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.,注意:有些题目隐含了全称量词和存在量词,要注意对其进 行改写来找到.,典例2(特例法)试判断以下命题的真假: (1)xR,x2+20;(2)xN,x41;(3)xZ,x31;(4)xQ,x23.,解(1)由于xR,有x20,因而有x2+220,即x2+20. 所以命题“xR,x2+20”是真命题. (2)由于0N,当x=0时,x41不成立.所以命题“xZ,x41”是假命题. (3)由于-1Z,当x=-1时,能使x31.所以命题“xZ,x31”是真命题.,( (4)由于使x2=3成立的数只有 ,而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.所以命题“xQ,x2=3”是假命题.,评析：本例中的(3)是一个典型的特例法,即要说明一个存在性命题正确,只要找到一个元素使命题成立即可.,探究一：(定义法)判断下列语句是不是命题,如果是,说明它是全称命题还是存在性命题. (1)有一个向量a,a的方向不能确定. (2)存在一个函数f(x),使f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)对任何实数a,b,c,方程ax2+bx+c=0都有解. (4)平面外的所有直线中,有一条直线和这个平面垂直吗?,解：(1)(2)(3)都是命题,其中(1)(2)是存在性命题,(3)是全 称命题.(4)不是命题.,评析判定命题是全称命题还是存在性命题,主要方法是根据定义看命题中是否含有全称量词和存在量词.要注意的是有些全称命题并不含有全称量词,这时要根据命题涉及的意义去判断.,解题准备: 1. 全称命题p:xM,p(x).它的否定p:x0M,p(x0). 2. 存在性命题p:x0M,p(x0).它的否定p:xM,p(x). 3. 全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题的否定则直接否定结论即可.从命题形式上看,全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.,类型三:全(特)称命题的否定,典例3写出下列命题的否定,并判断命题的否定的真假,指出命题的否定属全称命题还是特称命题: (1)所有的有理数是实数; (2)有的三角形是直角三角形; (3)每个二次函数的图象都与y轴相交; (4)xR,x2-2x0.,分析：先否定量词:存在 任意.再否定判断词.,解：(1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题. (2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命题. (3)非p:有一个二次函数的图象与y轴不相交.为假命题,属特称命题. (4)非p:xR,x2-2x0.全称量词和存在量词为真命题,属特称命题.,评析：只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因否定不全面或否定词不准确而致错. 从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词.,类型四:与逻辑联结词全称量词存在量词有关的命题中参数范围的确定,解题准备: 1. 由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之,由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假情况.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取二者的交集即可. 2. 此类题目经常与函数不等式等知识相联系,要注意分类讨论思想的应用.,典例4 已知a0,设命题p:函数y=ax在R上单调递增;命题q:不等式ax2-ax+10对xR恒成立.若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围.,解析：可先求每个命题为真时,相应a的取值范围,再根据pq 之间的关系确定a的取值范围.,解：y=ax在R上单调递增, p:a1; 又不等式ax2-ax+10对xR恒成立. 0,即a2-4a0, 0a4, q:0a4. 而命题p且q为假,p或q为真,那么pq中有且只有一个为真,一个为假. (1)若p真,q假,则a4; (2)若p假,q真,则0a1. 所以a的取值范围为(0,1,评析：(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件; (2)其次求出含逻辑联结词的命题成立的条件; (3)注意pq为假且pq为真,等价于pq中一真一假.,探究2已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3|x1-x2|对任意实数m恒成立;命题q:不等式ax2+2x-10有解;若命题p是真命题,命题q是假命题,求a的取值范围.,命题q:不等式ax2+2x-10有解 当a0时,显然有解, 当a=0时,2x-10有解, 当a0有解, =4+4a0, -1a0有解时a-1, 又命题q是假命题 a-1. 故命题p是真命题且命题q是假命题时,a的取值范围为a-1.,笑对高考第三关 成熟关,名 师 纠 错 误区:对含有量词的命题的否定不当致误,典例 命题“对任意的xR,x3-x2+10”的否定是( ) A. 不存在xR,x3-x2+10 B. 存在xR,x3-x2+10 C. 存在xR,x3-x2+10 D. 对任意的xR,x3-x2+10,剖析：本题是对全称命题的否定,因此否定时既要对全称量词“任意”否定,又要对“”进行否定,全称量词“任意”的否定为存在量词“存在”,“”的否定为“”,可能的错误是“顾此失彼”,忽略了细节.,正解：题目中命题的意思是“对任意的xR,x3-x2+10都成立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+10即可,故命题“对任意的xR,x3-x2+10”的否定是“存在xR,x3-x2+10”故选C.,评析：含有量词的命题的否定方法 对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否定判断词,而不否定省略了的全称量词.,变式:|x|+|y|0等价于( ) A. x0或y0 B. x0且y0 C. x=0或y=0 D. x=0且y=0,答案:A,解析:当|x|+|y|=0时,x=0且y=0,否定即是x0或y0,解 题 策 略 1. 掌握全称命题处理的一般方法,如最值法;掌握特称命题处理的一般方法,如反例法特例法等. 2. 认真审题,理解好题目中的条件,尤其是背景新颖的题目.,典例1 (新定义题)如果对于函数f(x)在定义域内任意的x,都有f(x)M(M为常数),称M为f(x)的下界,下界M中的最大值叫做f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的是( ),A. B. C. D. ,答案：D,解析：对于,f(x)=sin x,-1sin x1, sin x有下确界-1;对于 ,f(x)=lg x值域为R,无下确界;对于 ,f(x)=ex0有下确界0;对于,f(x)有下确界-1.,评析：本考题属于一个新“定义”题目,“确界”的概念是大学数学中的知识,对高中学生来讲是一个新定义,作好本题的关键在于理解题意,下确界的定义是以一个“全称命题”的形式出现的,要体会其含义. 3. 熟练“真值表”的应用. 4. 在解决本部分题目时,要注意各种数学方法与数学思想的综合应用.,典例2(综合题)已知命题p:“x,x2-a0”,命题q:“xR,x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为( ) A. a-2或a=1 B. a-2或1a2 C. a1 D. -2a1,答案：A,评析本题为一简易逻辑小综合题目,两个命题分别为全称命题与存在性命题,先求得两个命题为真时的情况,再进行交集运算.,快 速 解 题,典例 设有两个命题P:函数f(x)=x2+2ax+4的图象与x轴没有交点,Q:不等式|x+1|+|1-x|a恒成立.若“P或Q”为真,“P且Q”为假,则实数a的取值范围是_.,解题切入点：由f(x)=x2+2ax+4的图象与x轴没有交点,求出a满足的条件,再由|x+1|+|1-x|a恒成立,求出a满足的条件.,分析思维过程：当求出P和Q后,P和Q自然也就有了,由“P且Q”为假可知,P与Q至少一个为假.由“P或Q”为真可知,P与Q至少一个为真.,快解：由f(x)=x2+2ax+4的图象与x轴没有交点,得=4a2-16a恒成立.由|x+1|+|1-x|的几何意义易知,g(x)2,则a2.故Q:a2,则Q:a2. “P或Q”为真等价于“P且Q”为假,当“P且Q”为真时,a2,故“P且Q”为假,a2. “P且Q”为假等价于“P或Q”为真,此时a2(上面已求出). 故同时满足“P或Q为真”“P且Q”为假的a(-,-2).,方法与技巧：在求P时,只能由a恒成立,则g(x)的最小值大于a,故有aa恒成立.这个方法可省不少时间. “P或Q”为真即P真Q真,或P真Q假,或P假Q真三种情况,求这三个交集的并集比较麻烦,转化为等价的“P且Q”为假就比较容易求a了,况且将“P且Q”为假等价转化为“P或Q”为真,可直接利用上面计算过程的结果,又省了不少时间.,得分主要步骤：求出P:-2a2,求出Q:a2固然必不可少,但要弄清“P或Q”为真并求出a的范围并不是很容易.同理求出“P且Q”为假时a的范围,一定要清楚,必须三种情况都满足,求三者的“并”.,易丢分原因：“P或Q”为真含三种情况,考虑不全则做不对,会丢分.每种情况都同时成立,求“交”,然后三种情况求“并”,很可能会出错.同理求“P且Q”为假时也一样.即使至此的求解过程全部正确,在最后理解“P或Q”为真“P或Q”为假时,若认为两者是“或”的关系,也会出错。,教 师 备 选 正确区别“否命题”与“命题的否定” 1. 要正确理解逻辑联结词“非”,还需区分好“否命题”与“命题的否定”.“否命题”是对原命题的条件与结论同时否定,“命题的否定”是只对原命题的结论进行否定.,2. “或”与“且”在非p形式下的转化 设全集为U,集合A和B是U的子集,有如下公式: U(AB)=UAUB,UAB=UAUB. 在命题之间也有类似情况成立:p或q的否定就是对pq分别否定后,联结词“或”变成“且”,即(p或q)p且q;同样,p且q的否定就是(p且q)p或q.,典例1 已知全集U=R,AU,BU,如果命题p:a(AB),则命题“p”是( ) A. aA B. aUB C. a(AB) D. a(UA)(UB),答案：D,解析：一般情况下,命题“p或q”的否定为“p且q”. 故若p:a(AB),则“p”:aUAUB.,评析：“pq”的否定为“pq”,“pq”的否定命题为 “pq”.,典例2写出下列命题的否定形式,并判断其真假. (1)方程x2-5x+6=0有实根; (2)菱形的四条边都相等; (3)平行四边形是菱形.,分析：在命题的条件下,结论可以有多个,要注意分析有关的 情况,找出与命题有关的全部结论,就是说非p与p不但真假相 反,非p还必须包含p的所有反面.,解：(1)非p:方程x2-5x+6=0无实根.由=25-240知,p真,则非p假. (2)四边形的四条边可能有四种情况:四条边都不相等有两条边相等有三条边相等四条边都相等.因此,“四条边都相等”的否定是“四条边不都相等”.非p:菱形的四条边不都相等.p真,而非p假. (3)平行四边形包括菱形矩形正方形等特殊形状的平行四边形和一般意义上的平行四边形,因此,非p:平行四边形不一定是菱形.p假,则非p真.,评析：逻辑联结词“非”相当于全集中的补集.假定p与非p的结论所确定的集合分别是AB,则AB满足“AB=U(全集),且AB=”,即非p的结论必须包含p的结论的所有对立面.,课时作业三 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词,一选择题 1.(基础题,易)如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q”是假命题,那么( ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题 C. 命题p与命题q的真值不同 D. 命题p与命题q的真值相同,分析:由“p或q”与“p且q”的真值情况判断.,答案:C,解析:“p或q”是真命题,p和q至少有一为真,“p且q”是假命题, p和q至少一假,故p和q一真一假,即p与q真假不相同.所以选C.,评析:此题为一高考模拟题,考查的知识点就是“真值表”的应用问题,一般地,只要真值表熟练,加上正确的推理,此类题目即可解决.,2. (基础题,易)下列命题,其中假命题的个数为( ) 54或45;93;命题“若ab,则a+cb+c”;命题“菱形的两条对角线互相垂直”. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,答案:A,解析:54真,故54或45为真命题;93表示为93(真) 或9=3,故93为真命题;若ab,则a+cb+c也是真命题; 也是真命题.,评析:本题为判断命题的真假,有简单命题也有复合命题.对复 合命题的判断要根据真值表判断,不可凭想象,如93,是正 确的命题,可能误认为错误的命题.,3. (基础题,易)命题“存在实数x,使|x+1|0,且x24”是( ) A. “p或q”的形式 B. 简单命题 C. 真命题 D. 假命题,答案:C,解析:设p:存在xR,使|x+1|0,为真,而q:存在实数x使x24 也是真命题,故p且q为真命题.,4. (基础题,易)设有两个命题:关于x的不等式x2+2ax+40对一切xR恒成立;函数f(x)=-(5-2a)x是减函数.若命题有且只有一个是真命题,则实数a的取值范围是( ) A. (-,-2 B. (-,2 C. (-2,2) D.,答案:A,解析:若x2+2ax+40对一切xR恒成立,则-2a2. 若f(x)=-(5-2a)x是减函数,则a2.若真假,则a不存在. 若假真,则a-2.故选A.,5.(基础题,易)给出命题p:33;q:函数f(x)= ,在R上是连续函数.则在下列三个复合命题:“p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3,分析:要判断三个复合命题的真假,首先应先分别判断命题 p和q的真假,从而进一步进行判断.,答案:B,解析:对于命题p:33,本身为一复合命题,由于3=3成立,所以 33成立,即命题p成立.对于命题q.画出函数f(x)的图象,如图, 可知函数在x=0处不连续,从而函数f(x)在R上不为连续函数,即命题q为假命题.所以,只有“p或q”为真,故选B.,评析:本题中命题q的判断借助于函数图象,简单明了.,6. (易错题,中 )下列各组命题中,满足“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真的是( ) A. p:0=;q:0 B. p:在ABC中,若cos 2A=cos 2B,则A=B;q:y=sin x在第一象限是增函数,答案:C,解析:由真值表:若“p或q”为真,“p且q”为假, 则p真q假或者p假q真. 若“非p”为真,则p为假.所以由已知得“p假q真”. 分析各选项得C.,二填空题 7. (基础题,易)命题p:x=是y=|sin x|的对称轴,命题q:2是=|sin x|的最小正周期,下列命题中,是真命题的为_.pq;pq.,答案:,解析:画出y=|sin x|的图象,x=是其一条对称轴,即p正确, 而y=|sin x|的最小正周期为,故q错误,所以为真,为假.,评析:此题的判断,关键在于判断命题p,q本身的真假问题,根据图象可得结论,如果忽略图象,容易判