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9 钢桥面板计算理论,钢桥面板的力学特征及分析方法 钢梁翼缘的有效宽度 按正交异性板理论分析钢桥面板 Pleliken-Esslinger法分析钢桥面板 几种特殊钢桥面板的简化分析 小结 本章参考文献,钢桥面板的力学特征及分析方法 由纵肋、横肋以及桥面盖板所组成的共同承受车轮荷载的钢桥面结构，由于其刚度在互相垂直的二个方向上有所不同，呈现出构造正交异性板。 钢盖板是纵横肋的上翼缘，正交异性板又是主梁的上翼缘，其共同受力，十分复杂，传统的分析方法是把它分成三个结构体系加以研究： （1）体系 由盖板和纵肋组成主梁的上翼缘，与主梁一同构成主要承重构件主梁体系。当上翼缘的有效分布宽度确定后，其力学分析与一般梁无区别。 （2）体系 由纵肋、横梁和盖板组成的结构，盖板成为纵肋和横梁的共同上翼缘桥面体系。该体系支承在主梁上，仅承受桥面车轮荷载。研究证明，该结构体系的实际承载能力远大于按小挠度弹性理论所求得的承载力，这是由于它具备相当大的塑性储备能力的缘故,（3）体系 仅指盖板，它被视作支承在纵肋和横梁上的各向同性连续板盖板体系。该体系直接承受车轮局部荷载，并把荷载传递给纵肋和横梁。盖板应力可呈薄膜应力状态，盖板具有很大的超额承载力 在荷载作用下，钢桥面板任意点的内力（或应力）可由上述三个基本体系的内力（或应力）经适当叠加而近似求出。 分析体系的关键是确定翼板有效分布宽度，以二维应力理论或剪力滞效应理论为基础可分析有效宽度，小松定夫1，福田武雄、Schnadel.de Boer等的工作为分析研究提供了重要依据34。 作为弹性支承正交异性板的分析已有多种解法，其中解析法是一种较为成熟的经典计算方法，根据所取的计算模型不同，解析法计算又可分为如下四种： 把板从肋的中间分开，并归并到纵横肋上去，构成格子梁体系。该法由H.Homberg提出1，它的缺点是未能考虑板的剪切刚度。 把纵横肋分摊到板上，也就是将板化成一种理想的正交异性板。实验结果表明，当荷载作用在横肋上时，这种方法是较好的，但当荷载作用在两横肋中间，此法的精度就差了。,由F.W.Mader提出对法的改进，即将作用有荷载的那个节间单独处理，令节间的横向抗弯刚度等于（盖板的抗弯刚度） ，其余节间解法同。 Pelikan-Esslinger提出将纵肋均分摊到盖板上，而将横肋作为刚性支承，求解后再将横肋的弹性影响计入2。 体系作为弹性薄板分析并不困难，但当轮重逐渐加大时，盖板的弯曲应力便逐步进入薄膜应力状态，具有很大的超载能力。因此，体系的应力可以略去不计。 钢梁翼缘的有效宽度 (1) 小松定夫公式 小松定夫于1962年用迦辽金法分析钢桥面板梁桥的剪力滞、提出了有效宽度实用计算公式，这里作以简介，详细讨论可参阅文献4。 如下图所示，文献4给出的有效宽度计算公式为,（a）均布荷载作用,（b）集中荷载作用,钢板梁桥翼缘有效宽度,（c）集中荷载和均布荷载同时作用,其中：,，,梁的跨径,半翼缘宽度,正交异性翼板中性轴与截面中性轴之间的距离； 一个纵肋面积； 全截面面积； 全截面惯矩；,对钢简支板梁桥，文献1给出下表的计算结果，可供参考。 简支钢桥面板梁桥翼缘板有效宽度建议值,对连续梁或悬臂梁，可近似按弯矩零点将其分为简支梁进行计算,（2） 箱梁桥翼缘有效宽度简化计算 分析认为，箱梁上、下翼缘的有效宽度几乎不受下、上翼缘应力分布形状的影响，可近似地将上下翼缘分别计算。对于无悬臂的箱梁，可将截面积等于上、下翼缘截面面积 、 之半放于腹板的正下、上方，置换成形、倒形截面（下图），计算上翼缘、下翼缘的有效宽度。 有悬臂的箱梁，可按上述思路按后图置换后进行计算。,箱梁置换为、倒形梁,有悬臂翼缘的箱梁置换为T、倒形梁,文献5给出的当集中荷载P作用在跨内 处，均布荷载满载时，有效宽度 的计算公式为,式中： 正交异性上（下）翼板中性轴与箱梁中性轴间的距离； 箱梁截面面积和惯性矩。 其余符号意义同前式，但在计算底板有效宽度时，应将底板看作顶板进行。 Ramberger1将带有加劲肋的翼板考虑为正交异性板来分析剪滞现象，给出了正弦对称荷载作用下的有效宽度计算图表，可供参考 按正交异性板理论分析钢桥面板 由第6章知，正交异性板在竖向荷载作用下的一次弯曲平衡微分方程式为 将钢桥面板比拟为正交异性薄板后，可按薄板理论求得解析解。可由它的特解和齐次微分方程式,的一般解相加得到。解中的积分常数可根据已知的边界条件确定。 对于简支桥面板（ 简支， 为主梁间距， 轴为桥跨方向），根据不同的 、 和 值，解为,根据 与 之间的关系， 表达式,（a） ，且 时：,（b） ，且 时：,（c） ，且 时：,（d） ，且 时：,（e） =0时,以上的解析法，对于实际的正交异性钢桥面板分析还存在着两个问题。一是纵横肋是焊在盖板上的，纵横肋与盖板间没有填充材料，因此是不连续的，这与理想的正交异性板构造存在着差异。二是由于工程上是将纵横肋分摊到盖板上，这样会造成在正交方向上中面不在同一平面内。另外，对于通常的桥面板由于已超出了小挠度理论范围，故必须计入薄膜力的作用。 Pleliken-Esslinger法分析钢桥面板 （1） 基本原理 50年代，前联邦德国的W.Pelikan和M.Esslinger提出用正交异性板理论来计算钢桥面板，并得到了广泛的应用，后被美国钢结构协会所采纳6，AASHTO亦推荐此法8。,如图所示，设钢桥面板顺桥向简支在箱梁或板梁的腹板上，而横桥向则弹性支承在间距为 的横肋上,这样桥面板（正交异性板由盖板和加劲盖板的纵肋组成）可看成是支承在刚度无穷大主梁上和按等间距 排列的弹性横肋上的正交异性连续板。由此可见，钢桥面板实际上是一种构造性正交异性板，而要将正交异性板的弯曲理论用于这种构造板计算，必须满足下述前提条件：,加劲肋的间距与板边长的比值应足够小，也即加劲肋应当布置较密；,肋的布置在纵向（或横向）都应是均布的且相同的，也即板的刚度应在宽度（或长度）范围内保持不变；,板的刚度值不随边界条件和荷载状况而变动；,加劲肋和板的材质应相同；,肋与板的连接应是密实而牢固的,在P-E法中（下图），上述桥面体系构造正交异性板的计算分二个阶段进行,横肋的刚度为无穷大，桥面板刚性支承于横肋上,横肋的弹性变形影响所产生的弯矩,实际工作状态的弯矩值,第阶段：假定横肋的刚度为无穷大，桥面板刚性支承于横肋上，如图a）所示，求纵肋和横肋（均计及盖板的有效宽度）的最大弯矩值。 第阶段：计算横肋的弹性变形影响所产生的弯矩，如图b）所示，然后再将第阶段中求得的弯矩值加以修正，即得符合于板的实际工作状态的弯矩值，如图c）所示。 钢桥面板的弯矩值与下列因素有关： 横肋的间距 主梁腹板中距 正交异性板的三个刚度（抗弯刚度 、 有效抗扭刚度 ）和它们的比值以及荷载形式等 （2） 刚度计算 （a）刚度 假定纵梁腹板的抗弯刚度为无穷大，而顺桥向等间距布置的纵肋连同桥面盖板所组成的纵向抗弯刚度为 （开口纵肋）或 （闭口纵肋）,闭口纵肋连接板宽,开口纵肋间距或闭口纵肋上翼板宽,计及盖板有效宽度计算的纵肋抗弯惯矩,开口纵肋,闭口纵肋,横向抗弯刚度 为桥面盖板的抗弯刚度 。由于 远大于 = ， 其比值 / 通常为5002000，故可认为 0而开口纵肋加劲的正交异性板，其有效抗扭刚度也很小，同样可假定 0。据此，在计算的第阶段（即刚性支承连续板），可作如下假定： 对用闭口纵肋加劲的桥面板，可令 。 对用开口纵肋加劲的桥面板，可令 ， =0。,（b）有效宽度 纵肋和横肋的有效宽度 和 （在计算的第阶段中，计算相关刚度 ）是计算刚度系数 ， 和 的关键。精确计算 、 是相当麻烦且无必要，可按下述简化方法计算 开口纵肋 第一阶段：取纵肋的有效跨径 由车轮宽度B与纵肋间距 的比值 ，按照不同的荷载分布形式，在下图中查得 ，再以比值 在图中查得，则 第二阶段：,查,查,闭口纵肋 第一阶段：，由比值 和 ，在图9.4.6中查得相应 的 和 ，则,第二阶段： 横肋 按比值 在图9.4.6中查得相应的 则 以上各式中，符号意义见相应图示。,刚度计算 用 和 来计算刚度 、 并不困难。闭口截面的有效抗扭刚度 可按下式计算,式中： 抗剪模量，； 闭口肋的抗扭惯矩，； 1个闭口肋包围的面积； 闭口肋周边长； 闭口肋的板厚； 与截面形状有关的刚度折减系数1。详细讨论可见文献1。,（3） 开口纵肋桥面板解析 （a）刚性支承连续板 对开口纵肋桥面板，因 ，则可得 若设 ，上式即为 方向梁的挠曲线方程，由此可推出刚性支承连续梁的弯矩方程。PE法第1阶段的计算，就变成一维问题刚性支承连续梁的计算。图9.4.7所示为刚性支承连续梁的内力影响线 纵肋的节间中点弯矩 当集中荷载 作用于节间00范围内、节间中点 处的弯矩 的影响线纵坐标为,影响线的最大值发生在 处，即,刚性支承连续梁的影响线,节间01，12， 的影响线纵坐标则为,当“00”跨中 处作用一个分布轮荷载 时，则纵肋“00”跨的跨中弯矩值 为,若荷载作用在其他跨 时，则轮重分布宽度 的影响可以忽略，此时，纵肋节间中点弯矩 的影响纵坐标为,纵肋的支点弯距 纵肋支点弯矩 影响线的纵坐标可用下式计算,式中的 是加载节间支点编号中数值较小的那个号数， 当集中荷载 作用于节间01范围以内时，支点 的弯矩影响线坐标为,而当分布宽度为 的均布荷载作用在节间01时，支点 的弯矩值为,可以证明：当 时， 有最大值，即,荷载中心到支点 的距离,支点反力 当一个集中荷载作用在跨“01”和其它跨内，支点 的反力 影响线纵坐标为： 在跨“01”：,在 跨：,（b）弹性横梁影响 “PE”法计算的对象是弹性支承在横肋上的等跨连续板，和刚性支承连续梁相比，纵肋跨中的计算正弯矩将增大，而横肋支承处的负弯矩将减小。此即为横梁挠曲或弹性支承的影响,对于开口截面纵肋桥面板，由于采用 、 的假定，计算简图就变成下图a)所示之一系列平行于 轴、沿 轴方向紧密排列的纵肋所组成的梁排结构，梁排中的横梁对纵肋提供弹性支承反力,理论上计算纵肋时，只要在 轴方向满足任意处的支点反力与其挠度成正比且均相同时，则纵肋就可脱离开来按单根弹性支承连续来处理,横肋的挠度,对于横肋简支于主梁上的钢桥面板，如果把作用荷载转化成 方向上的宽度为 的正弦分布荷载，例如作用荷载 按傅里叶级数展开成 ，且有 ，则简支横肋的挠度可用与之对应的正弦曲线来表达，而横肋处的反力也呈现同样规律分布。因此，对于桥宽方向 处与单宽板条（包括纵肋在内），可按照承受同一位置对应荷载 的弹性支承连续梁来处理,（c）荷载的傅里叶（Fourier）级数表示 为便于计算，在分析正交异性板时，可把荷载展开成傅里叶级数，如下图所示。单荷载 可用下列级数表示,级数第 项荷载分量在 点的荷载强度 为,傅里叶系数，即第项级数的正弦荷载的最大值,单个荷载展开坐标,多个荷载作用时（图）有,计算刚性支承的正交异性板或考虑横梁的弹性支承影响时，系数 均和荷载的布置形式有关，且取 计算精度已足够,多个荷载展开坐标,（d）相关刚度系数 在横肋挠度图所示的结构体系中，横肋对每一根纵肋板条均起弹性支承作用。由于桥面荷载已在 方向上沿宽度 的范围内按傅里叶级数展开，故板条的反力及挠度都呈现正弦函数变化。这样，由支点挠度 和与之对应的反力 的比值 所定义的弹簧常数在沿横肋跨度的所有各点 上是等值的,图中承受正弦分布荷载 的结构系统，第 项荷载分量在横肋处产生的反力为,指纵肋板条按弹性支承连续梁计算时支点处所求得反力影响线的纵坐标7,肋上的正弦反力 所产生的横梁挠度 为,据上列两式可求得板条的弹簧常数 为,一条横肋的抗弯刚度,现定义相关刚度系数 为纵肋板条的刚度与相应支点的弹簧常数 之比，则对于开口截面纵肋有,一条纵肋的抗弯刚度,相关刚度系数 与正弦分布荷载的项数 有关，即随荷载状态而异。实际计算时只要取 ，精度已足够，这样有,文献1已给出和 有关的弹性支承连续梁的跨间弯矩影响线、支点弯矩影响线和反力影响线的纵坐标值,（e）根据横肋挠度改正弯矩 纵肋 据本节（c）和（d）可求出刚性支承连续梁弯矩影响线坐标值和弹性支承的 。由于弹性支承连续梁的弯矩影响线坐标中 已包括刚性支承部分的 在内，故它们的差即为支点弹性变位对内力影响线值的影响,在单一荷载或荷载群 的作用下，弹性支承连续梁上任意一点 因支点竖变位而产生的弯矩增量 为,单一荷载或荷载群作用下，刚性支承连续梁支点处的反力，即有,按刚性支承连续梁计算时，考察点 的弯矩影响线在各支点处的纵坐标恒为零，即；,按弹性支承连续梁计算时，考察点 的弯矩影响线在支点处的纵坐标,于是有,改写成无量纲形式即：,考虑横肋的挠曲影响计算纵肋弯矩时，先要把桥面板上的荷载沿 方向（横桥向）展开成正弦分布荷载的第一项分量 。这样，计算点处纵肋上的荷载就为同 方向上第一项正弦荷载分量 与纵肋宽度之积，对开口纵肋为 为开口纵肋的间距。于是，纵肋的附加弯矩 为,在普通钢桥面板中应为正值，它使纵肋的跨中正弯矩增大，而支点的负弯矩减小。,和计算纵肋相似，考虑横肋的弹性变形后，横肋的弯矩也要比刚性支承时来得小。,横肋,若荷载 用正弦分布荷载 表示，则对应第 支点处横肋上，任意一点的刚性支承弯矩为,同理，横肋作为弹性支承挠曲后，其弯矩为,分别表示刚性支承和弹性支承连续梁支点 处的反力,由横肋弹性变形而引起之横肋自身的弯矩削减量 ，当 时，可表示为,当单一荷载或荷载群 作用于桥面板的任意位置点时，纵肋板条作为弹性支承，连续梁在支点处的反力可表示为,刚性支承连续梁在支点 处的反力,弹性支承连续梁的支点的反力影响线纵坐标,则有,上式即为第 横肋在任意点 处的弯矩削减量 的计算式,（4） 闭口纵肋桥面板解析,（a）基本解及求解思路 对于闭口纵肋桥面板，因 ，故平衡微分方程式为,其齐次式解为,根据正交异性板理论，为要计算纵肋的内力，必须导出板的影响面公式。而根据虚功原理，可以把求内力影响面的问题转化为求解挠曲面。因此，影响面可表示成微分方程的通解，但积分常数应根据不同情况来确定。 现对 变量进行偏微分，并省掉符号 有,根据结构力学中用机动法作影响线的要领可将求板的影响面变为求解单位转角作用下板的挠曲面问题。因此，齐次方程式可利用结构力学中的三弯矩方程式，而式中的系数 则根据单位转角下的变形条件来决定1。例如，支承边的弯矩影响面，也就是在所计算支承边的板边上施以相对转角 时的挠曲面。而节间中央的弯矩影响面就为拟求的节间中央施以相对转角 ，其挠曲面就等于该节间中央的弯矩影响面.,(b)连续板的三弯矩方程 设有一四边简支板，在板边1上作用有正弦分布弯矩 ，如下图所示，在计算时，有边界条件,代入得，（为演算简单起见，以下推导时均省 项）,求传递系数 时所取的单节间的板,由于 或,则,将上述积分常数代入得板边 的转角为,再看上图b）所示之两个邻接单跨板01，12，当在支承板0、1、2上作用有弯矩 时，其支承边1之左转角 和右转角 分别为,现设,代入后则有,由于板在支承边1上连续，故有： 可得,刚性支承连续板的三弯矩方程。,令,可表示为,对于连续板，因其支承边弯矩将随跨度延伸而递减，故有,得,求解,传递系数,（c）支承边弯矩影响面 支承边的弯矩影响面即为在所计算的支承边上施加相对转角 所产生的挠曲面（下图）。此时，连续板的三弯矩方程式可表示为,支承边上的弯矩影响面,又因为 ，于是有,将a1；a2代入得到,其它支承边弯矩为,并据此确定影响面方程中的各个积分常数。如下图所示，板节间01的边界条件为,代入其解中并令 ，则有,支承边上的弯矩影响面纵距,解得,回代则得到01节间的板支承边弯矩影响面的纵坐标,而平板节间12挠曲面的纵距 为,其它节间的计算方法相同,利用上面求出的弯矩影响面纵坐标，可算出各种荷载状态下的支承边的弯矩。按下图所示的荷载状态，支承边的弯矩公式如下： 加载状态 图a）,右上方角标表示加载的节间号,加载状态 图b）：,当全部节间上均作用有均布荷载时,加载状态 图c）：,支承边弯矩（指支承边0）,（d）节间中央弯矩影响面 如下图所示，若在拟求弯矩的节间中央施以相对转角 ，则其挠曲面 即为节间中央弯矩之影响面。对此，节间00挠曲面方程的积分常数，可由下述边界条件确定,其中的 支承边00的弯矩，它可由前述三弯矩方程式导出,式中： 平板的换算剪力，即,得,节间中央弯矩的影响面,将有关公式联立方程式有,解得,将上述常数代入后，得出节间00范围内的挠曲面方程，即弯矩影响面的纵坐标 为,节间01范围内弯矩影响面纵坐标公式为,在下图的加载状态下，节间00的中央点弯矩为 加载状态 图a）：,加载状态 （在节间中央作用有均布荷载 ）图b）：,计算节间中央点弯矩时的加载图式,加载状态 图c）：,加载状态 图d）：,（f）支承边反力影响面 支承边反力影响面即相当于所计算的支承边下沉 时的挠曲面（下图）。此时由连续条件得到连续板的三弯矩方程为,式中 和 即为基本结构中图b00边产生单位下沉量 时，在 和 的转角。可得边界条件,支承边0的反力影响面,得积分常数为,回代得,可解得,仿照推导有关系式,其它支承边弯矩为,并据此确定影响面方程中的积分常数。板节间01边界条件为,根据上式求出的积分常数为,其中：,则得到的节间01支承边反力影响面的纵坐标,对于节间12，支承边弯矩分别为 和 ，积分常数为,支承边反力影响面的纵坐标为,利用上面求出的反力影响面纵坐标，可算出各种加载状态下支承边的反力。按下图所示的荷载状态，支承边反力公式如下：,加载状态 图a）,支承边0的反力,加载状态 图 ）,加载状态 图c）,当所有节间满布均布荷载 时，支承边0的反力,（g）弯矩计算 和开口截面纵肋相似，闭口截面纵肋计算时也必须把桥面荷载展开成傅里叶级数形式。于是，桥面板任意位置 处单位宽度上的弯矩可表示为,桥面板弯矩影响面纵坐标,用上式算出纵肋中心单位宽度上的弯矩之后，乘以纵肋间距（ ）（下图），即得作用于实际钢桥面板上一根纵肋的弯矩,由上式，可列出支承边弯矩影响面纵坐标 的公式为,上式中 含义与开口截面肋相同，代表板节间左右两个支点编号当中的数值较小者。其它符号意义同前。 节间中央弯矩影响面纵距 的计算可分二种情况：,当荷载作用于节间00时，则可写出 / 的算式为,闭口肋弯矩,当荷载位于其它节间时，则,这样便可求出任意点 处的节间中央的弯矩 。,实际上，车轮荷载是以面荷载作用在桥面板上的（下图），此时，节间中央的弯矩 可用下式计算,（7）根据横肋挠度改正弯矩和剪力 与开口纵肋类似，这时， 相关刚度系数 为,作用于节间中央的分布荷载,以 代替 即,其它改正过程同开口纵肋,几种特殊钢桥面板的简化分析 （1） 支承在抗弯刚度不等的横肋上的连续钢桥面板 实际设计中，往往采用较大刚度的横肋来平衡荷载分配，且大刚度横肋的间距一般较大，其相互影响可以不计，即可以只考虑一根大刚度横肋对内力分布的影响,将下图所示的连续桥面比拟为弹性支承连续梁中，设0点处有一大刚度横肋，其弹簧常数比一般横肋的弹簧常数 大，记之 ，为便于分析，选取相同横肋的结构系作为基本结构，将弹簧常 数 分解为 和 两部分，令 = + ，结构简图如图b）所示，若取作用于 的弹簧反力 为赘余力，则据图c及d）的变形图式有,支点0为大刚度横肋的连续梁,在基本结构系中，由荷载P引起的弹性支点0处的反力,在基本结构系中，支点0的反力影响线在支点0处的纵坐标,由变形协调条件，则,则由 在连续纵肋上引起的附加弯矩 为,纵肋上计算点 的弯矩影响线在大刚度横肋0点处的纵坐标,横肋的附加反力 为,基本结构系中支点的反力影响线在支点0处的纵坐标,用无量刚比值 和 / 及 的第一项正弦荷载分量 ，有,开口纵肋：,闭口纵肋：,对于大刚度横肋 处的附加弯矩 ，有,其它横肋的附加弯矩 为,（2） 横向非简支钢桥面板 如下图a)、b)所示的横肋不是简支在主梁上的钢桥面板，跨度 为 ，作为近似计算，在计算的第I阶段，以有效跨度 ，代替钢桥面板公式中的 ；在第阶段，以有效跨度 代替相关刚度系数 计算式中的 ，对靠近横肋跨中附近的纵肋，能给出精度颇好的结果。若要对横肋进行精确设计，则有必要采用考虑支承约束的计算方法，如W.Sch far法1。,非简支钢桥面板,（3） 悬臂钢桥面板 对悬臂钢桥面板，除可视为无限宽支承在悬臂横肋上的正交异性连续板按板理论进行数值分析外，还可采用F.Leonhardt的格子梁理论进行计算。其基本思路是将纵、横肋结点解除代之一未知力，并将纵肋看成弹性支承在横肋上的连续梁，在求出弹簧常数后问题即获解，关于此法的详细讨论见文献1或7，其在弯、斜桥上的应用见本书20.5节。,小结 正交异性钢桥面板的应力是由主梁、桥面和面板三部分的应力组成。 主梁应力计算在考虑翼缘有效宽度后与一般梁分析一样，关于翼缘有效