随机事件及其概率.ppt

应用概率统计,任课教师： 张艳 电子邮件: 学 时： 45 学时,群名称：应用概率统计集中2班 群 号：291464395,请上课期间关闭手机,前 言,在一定条件下，并不总是出现相同结果，但又有一定统计规律的现象称为随机现象。,自然界中的现象分为两大类：,将来可以预知，条件一定、结果一定,将来不可以预知，条件一定、结果不定,（1）确定现象：,（2）不确定现象：,概率统计是一门研究随机现象统计规律性的科学。,第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件及其运算 1.2 频率与概率 1.3 等可能概型 1.4 条件概率 1.5 事件的相互独立性,1.随机试验 2.样本空间 3.随机事件 4.事件间的关系及其运算,1.1 随机事件及其运算,1.随机试验,随机试验是对随机现象的一次观察、一次测量、一次统计等等，简称试验，记作E。,几个具体的试验：,TTT,HHH,HTT,THT,TTH,HHT,HTH,THH,在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命。,抛一颗骰子，观察出现的点数。,记录一段时间内进入某商场的顾客人数。,上述随机试验具有以下三个特点：,（可重复性）,(1) 可以在相同情况下重复进行；,(2) 每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性，,(3) 每次试验前不能确定会出现哪种结果。,但能事先知道试验的所有可能结果；,( 随机性）,具有上述三个特点的试验称为随机试验。,( 多样性）,定义1 将随机试验E的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间，记作。,2.样本空间,样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。,TTT,HHH,HTT,THT,TTH,HHT,HTH,THH,E3：观察一段时间内进入某商场的顾客人数。,样本空间的元素是由试验目的决定的。,E4：记录一只灯泡的使用寿命。,定义2 称试验E的样本空间的子集为随机事件，简称为事件，可用 A , B , C , D等表示。,3.随机事件,事件的表示方法：语言定性描述，用集合描述。,如：掷骰子试验中，掷出的点数为偶数可表示为：,A=2，4，6 = “点数为偶数”。,样本空间是客观的，事件是人为设定的。,在试验中, 事件A中的一个样本点出现,则称事件A发生。,（1）事件的发生,例：在掷骰子试验中，,如果掷出数字4，则2、3发生。,定义3个事件：,基本事件,只含有一个样本点的事件，称为基本事件。,（2）特殊事件,为六个基本事件。,例如：在掷骰子试验中,必然事件,不可能事件,在每次试验中一定不发生的事件，称为不可能事件，记为，即为空集，其中不包含任何样本点。,在每次试验中总是发生的事件，称为必然事件。,例如： 掷一枚骰子1次，则点数1为必然事件 点数 6为不可能事件。,由于样本空间包含所有的样本点，每次试验中它总是发生的，因此样本空间是必然事件。,事件的包含与相等,若事件A 发生必导致事件,定义：,B 发生，,则称 B包含A 。,（A的每一个样本点都是B 的样本点）,4、事件间的关系及运算,例如：在编号为1到10的袋子中摸球，定义,则有,A=取到的球号2， B=取到的球号4，,C=取到的球号1， D=取到的球号是偶数，,事件的和,例如,可列并,有限并,简记为,简记为,例如,A1=开关K1 合上,A2=开关K2 合上,A3=开关K3 合上,B=灯亮,三个开关至少有一个合上。,事件的积,当且仅当事件A 与事件B同时发生时,或,定义,记为,例 电路图， B表示灯亮,A1=开关K1 合上,A2=开关 K2 合上,称为事件A与B的积。,发生,可列交。,有限交。,例如：设以,表示毕业班某一位学生的,第1,2,n门课程的学习成绩为合格。,以 B 表示学生可以拿到毕业证书。,则,(表示各门课程都合格了)。,事件的差,当且仅当事件A 发生且事件B不发生时，事件AB 发生。,例如,互不相容事件,注1：A 与B互不相容表示事件A 与B 不能同时发生。,定义,若AB ，,则称事件A与B相容。,注2：基本事件是两两互不相容的(互斥)。,如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。,若AB= ，则称A与B为互不相容。,对立事件,则称 A 与 B为对立事件(互逆)。,且,即：事件A、B 有且仅有一个发生。,定义,事件 A, B 满足,记为,可见：若E只有两个互不相容的结果，那么这两个,结果构成对立事件。,表示毕业班某一位学生的,以 C 表示学生拿不到毕业证书，则,例如：设以,表示至少有一门课程不及格。,以 B 表示该学生可以拿到毕业证书，则,各科的学习为成绩合格。,表示每门课程都合格了。,(2)事件的运算规律,交换律,结合律,分配律,德.摩根律,例1,设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件,(1) A发生,B与C不发生,(2) A与B发生,C不发生,(3) A，B，C都发生,(4) A，B，C至少有一个发生,(5) A，B，C全不发生,(6) A，B，C至少有两个发生,1.2 频率与概率,1. 频率的定义 2. 概率的定义 3. 概率的性质,1. 频率的定义,即,记为,为事件A在 n 次试验中出现的频率，,频率的性质：,（2）,（1）,频率有什么规律？,在大量重复的试验中，随机事件出现的频率具有稳定性，即通常所说的统计规律性。,这就是概率的统计定义。,2. 概率的定义,设随机试验E的样本空间为，对于E 中的每一个事件A 赋予一个实数 P(A)，称为事件A 的概率,如果集合函数P(.)满足以下三个公理:,（1）非负性,（2）规范性,（3）可列可加性,若可列个事件 两两互不相容，则,3. 概率的性质,性质1,证,由概率的非负性和可列可加性，得,由概率的非负性，得,性质2 （有限可加性）,性质3 如果 ，则,性质4,性质5,性质6,推广：,解,例1 已知,求A, B, C 中至少有一个发生,的概率。,例2 证明,证,解,例4,，求,解,练习题,设A,B,C为三个随机事件，且 P(A)=P(B)=1/4， P(C) =1/8, P(AB)=0, P(AC)= P(BC)=1/8, 求A,B,C至少有一个发生的概率。,1.3 等可能概型,1. 等可能概型的定义 2. 计算公式 3. 计算方法 4. 几何概率,设是随机试验 E 的样本空间，如果 满足以下两个条件：,（1）有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；,（2）等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。,例如：E1：抛硬币,观察哪面朝上，= =H,T,则称随机试验E为等可能概型或古典概型。,E2：投一颗骰子，观察出现的点数,1. 等可能概型的定义,= =1，2，3，4，5，6,2. 计算公式,若事件A包含k个基本事件，即,例1,将两封信随机的投入四个邮筒,求: 1) 前两个邮筒中没有信的概率,2) 第一个邮筒中只有一封信的概率.,解:,设 A = “前两个邮筒中没有信”,B = “第一个邮筒中只有一封信”,1),2),例2 投两枚骰子，事件A=“点数之和为3”，求,答： 1/18,例3 投两枚骰子，求点数之和为奇数的概率。,答： 1/2,3. 计算方法,（1）构造A和的样本点(当样本空间S的元素较少时，先一一列出和A中的元素，直接利用下面的公式求解,（2）用排列组合方法求A和的样本点个数，再利用公式求解,例4,一口袋中装有10只球, 其中6只蓝球, 4只红球,现从袋中取球两次, 每次随机的取一只,分别按有放回,和无放回两种方式取球 ,就以上两种情况求:,1) 取到的两只都是蓝球的概率 ;,2) 取到两只球颜色相同的概率;,3) 取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率;,解 设,A= 两只球都是蓝球, B= 两只球都是红球,a) 有放回抽样,2),3),a) 有放回的抽样,10只球, 其中6只蓝球, 4 只红球,取球两次,A= 两只球都是蓝球, B= 两只球都是红球,b) 无放回抽样,1),2),3),A= 两只球都是蓝球, B= 两只球都是红球,10只球, 其中6只蓝球, 4 只红球,取球两次,例6(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一,(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？,(2) 至少有两个人生日相同的概率为多少？,解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同”,(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”,1.4 条件概率,1. 条件概率 2. 乘法公式 3. 全概率公式 4. 贝叶斯公式,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,1.条件概率,（1） 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),(1) 抽中的是K的概率;,(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是K的概率。,解：,A 抽中的是红桃, B 抽中的是K,(1),(2),上述式子具有普遍性吗?,在古典概型中,Yes!,（2）定义,设 A，B为两事件，且,则称,为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率。,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解,解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求概率为P(B|A).,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),2.乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB)。,将A、B的位置对调，有,故 若P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们 可计算两个事件A,B同时发生的概率,乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况。,则有条件概率的定义可得,设一个班30名学生采用抓阄的办法分一张音乐会,入场券,问各人获得此票入场券的机会是否均等？,例3,同理，第i 个人要抓到此入场券，必须是他前面的 i-1个人都没抓到此入场券。,例4 设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按(1)有放回抽样；(2)不放回抽样，摸球三次，每次摸得一球，求第三次才摸到白球的概率。,解 设A=第一次没有摸到白球， B=第二次没有摸到白球， C=第三次摸到白球， 则所求事件可表示为ABC。,(1) 有放回抽样,(2) 不放回抽样,有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球，求取得红球的概率。,解 记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,其中 A1、A2、A3两两互不相容。,看一个例子:,3.全概率公式,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。,对求和中的每 一项运用乘法 公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15.,运用加法公式得到,即,且 A1B、A2B、A3B 两两互不相容。,定义 设是随机试验E 的样本空间，B1,B2,Bn是 E的一组事件，如果：,为样本空间的一个划分。,定理1 设为随机试验E的样本空间，B1, B2, , Bn为的一个划分，且P(Bi)0, i=1,2,n，则对样本空间中的任意事件A，有,全概率公式,例1,现在三个盒子,先在第一,个盒子中任取一球, 若取到红球,则在第二个盒子中任取两球;,若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中,任取两球，求第二次取到的两球都是蓝球的概率。,解: 设,= “从第一盒子取红球”,= “从第一盒子取黄球”，,= “第二次取两只蓝球”,则,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小。,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率。,或者问:,4. 贝叶斯公式,看一个例子:,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率。,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式。,设为随机试验E 的样本空间, A为E 的任意一个事件,定理2（贝叶斯公式）,为的一个划分,且,则,例3 在电报通讯中发出 0 和 1 的概率为0.6和0.4由于存在干扰 , 当发出0时, 以概率0.7 和 0.1接收到 0 和 1, 以0.2的概率收到模糊信号“x”, 当发出1 时, 以概率0.85 和 0.05收到1 和 0， 以概率0.1 收到模糊信号“x”, 试求: 1) 收到模糊信号 “x” 的概率； 2) 收到模糊信号 “x” 时, 译成哪个信号最好？,解 设,= “发出信号 ”,= “收到信号 ”,1),2),1.5 事件的相互独立性,1. 两个事件的独立性 2. 多个事件的独立性,显然 P(A|B)=P(A),这就是说, 不论事件B 是否发生, 都不影响事件A发生的概率, 这时称事件A与B相互独立.,1. 两事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) 则称A与B相互独立，简称A与B独立。