随机变量的数字特征.ppt

第十三章 随机变量的数字特征,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),工商管理硕士（MBA）系列教材    数据、模型与决策相关教学课件 免财富值！,免费下载,免费下载,学习目的,掌握离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望及其性质。 理解随机变量函数的数学期望；掌握方差的基本概念和性质；掌握协方差与相关系数的概念与具体应用；理解并能运用大数定律与中心极限定理。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),第十三章 随机变量的数字特征,13.1 数学期望及性质 13.2 方差与协方差及性质 13.3 大数定律与中心极限定理,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),13.1 数学期望及性质,离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量 的分布律如表所示。 如果级数  绝对收敛，则称级数的和为随机变量 的数学期望或均值，记为   。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),如果随机变量        ，则 如果随机变量     ，则   。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),有两个射手甲和乙，所得的分数是随机变量，分别记为 ，他们的分布率如表所示。 试比较甲、乙两人的技术。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),某大型设备生产商已有两份意向定货合同，分析如表所示。 卖出一件可盈利20万，否则下一年卖出，但考虑到资金成本及库存，将亏损2万。 问：按几件组织生产？,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量X的分布密度函数为f(x), 当积分  绝对收敛时，通常称它的极限为X的数学期望(或均值)，记为E(X)。即E(X) = 若积分不绝对收敛，则称X的数学期望不存在。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),如果随机变量X服从参数 0的指数分布，则E(X) = 。 如果随机变量  ，则E(X)=。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),数学期望的性质 性质1：设C是常数，则E（C）= C。  性质2：设C是常数，E（CX）= CE（X）。 性质3: X1，X2是随机变量，则 E（X1+ X2）=E(X1)+E(X2) 这个性质可以推广到有限个随机变量的情况；如果X1，X2， Xn是随机变量，则有： E（X1+X2+Xn）=E(X1)+E(X2)+E(Xn) 性质4: 如果随机变量X，Y相互独立，则： E（XY）= E(X)E(Y),第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),随机变量函数的数学期望 定理 如果X是离散型随机变量，f(x)是连续函数，X的分布规律如前表13-2所示，且级数 绝对收敛，则 Ef(X)=             如果X是连续型随机变量，f(x)是连续函数，X的密度函数为p(x)，且广义积分  绝对收敛，则： Ef(X)=,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),设市场对某种商品的需求量为随机变量X（单位：吨），它服从2000，4000上的均匀分布。若售出这种商品1吨，可获利3万元；但若销售不出去，则每吨需付仓储费1万元，问应组织多少货源才能使收益的数学期望最大？,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),第十三章 随机变量的数字特征,13.1 数学期望及性质 13.2 方差与协方差及性质 13.3 大数定律与中心极限定理,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),13.2 方差与协方差及性质,13.2.1 方差的概念 13.2.2 方差的性质 13.2.3 协方差与相关系数,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),13.2.1 方差的概念,对于随机变量，除了考虑它的数学期望外，还需要知道随机变量取值与数学期望的离散程度，这个离散程度可以用X偏离E（X）的大小的平方的平均值来度量，这就是方差。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),定义  设X是随机变量，若  存在，则称它为随机变量的方差，并记为D(X)，即（见式13-5）： (13-5) 称  为X的均方差或标准差。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),13.2.2 方差的性质,性质1：设C为常数，则  。 性质2：设C为常数，则   。 性质3：设K、C为常数，  。 性质4：设随机变量X1，X2相互独立，则： D（X1+ X2）=D(X1)+D(X2) 这个性质可以推广到有限个随机变量的情况；如果X1，X2， ，Xn是相互独立的随机变量，则有： D（X1+X2+Xn）=D(X1)+D(X2)+D(Xn),第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),13.2.3 协方差与相关系数,定义 对二维随机变量(X，Y)，     如果E(X-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为X与Y的协方差，记为COV(X，Y)。即（见式13-7）： COV(X，Y) = E(X-E(X)Y-E(Y) （13-7） 而若X，Y的方差存在，它们的协方差也存在。 称为随机变量X与Y的相关系数，记为  ，即,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),协方差具有以下性质： 性质1：Cov(X,Y)=Cov(Y，X)。 性质2：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b是常数。 性质3：Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2，Y)。 性质4：若X，Y相互独立，则Cov(X,Y)=0.。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),相关系数具有以下性质： 性质1：如果随机变量 X，Y 相互独立，则 。 证明：因为X，Y 相互独立，则COV(X，Y)=0，由式13-8，得： 性质2： 性质3：当且仅当X与Y存在线性关系，即Y=a+bX(b0)时，|XY|=1，并且XY=1(b0),XY=-1(b0）。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),第十三章 随机变量的数字特征,13.1 数学期望及性质 13.2 方差与协方差及性质 13.3 大数定律与中心极限定理,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),13.3 大数定律与中心极限定理,13.3.1切贝雪夫不等式、大数定律 13.3.2 中心极限定理,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),13.3.1切贝雪夫不等式、大数定律,设随机变量X有数学期望E(X)和方差D(X)，则任意给出 ，有（见式13-9）： （13-9） 或（见式13-10）： （13-10） 式13-9或式13-10称为切贝雪夫不等式。它表明，当D(X)很小时，X落入区间E(X)-，E(X)+是大概率事件，也即X的概率分布集中在期望E(X)附近。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),某批产品的次品率为0.05，试用切贝雪夫不等式估计10000件产品中，次品数不少于400件又不多于600件的概率。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),定理 （贝努里大数定理）设  是n次重复贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对于任意给定的 ，有： 贝努里大数定理说明当n无限增大时，事件A发生的频率  与概率p可以任意接近，即频率  逐渐稳定于概率p。这正是“概率是频率稳定值”的确切含义。,第十三章 随机变量的数字特征,数据、模型与决策 (第二版),定理 （辛钦大数定理）设随机变量X1，X