趣说博弈论——爱情的筛选.ppt

第三课 趣说博弈论爱情的筛选,引入 “剪刀、石头、布” 这是儿时的我们最喜爱的游戏之一，它可以是两人或多人一起玩耍，小朋友们常通过它来决出胜负。但是这种游戏并不是简单的一种游玩方式，实际是游戏的双方或多方的一种思维博弈，它具有竞争和对抗性质。,2012-10-10,第三课 爱情的筛选,探究分享,尝试实践,拓展研究,信 息 库,探究分享 爱情的筛选,有人说：爱情是冰山的雪莲，爱情是大海的珍贝，爱情是千百次轮回修来的缘分，叫世人苦苦追寻。也有人说：爱情是天上的浮云，爱情是游离的眼神，爱情是六月天飘下来的雪花，叫世人难以把握。茫茫人生中，我们如何规避错爱，如何捕捉真爱，且看公主约瑟芬的抉择和博弈。 人生如戏，精彩源于编剧；婚姻似棋，幸福在于博弈,相关链接,博弈论(Game Theory)，亦名“对策论”、“赛局理论”，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。它是研究多个个体或团队之间在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略和优化策略，以达到取胜的目的。博弈论属应用数学的一个分支，目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。,本文的探究展示了作者对生活的观察能力，对问题的发现能力，对教材知识的运用能力以及谋篇布局的能力。 一、排挤坏小子 传说古代有一个萨拉王国，国王有一位可爱的女儿，她就是公主约瑟芬，二八妙龄，才华出众，引得众多青年倾慕，但是考虑到自己的出身和地位，许多青年不敢向公主表达爱意。宰相马尔罕，有个儿子叫本罕，品行败坏，飞扬跋扈，谁料到癞蛤蟆也想吃天鹅肉，他恳求父亲向国王提亲。但是，这个坏小子的臭名早已传到公主耳里，公主不愿意嫁给他。国王考虑到他父亲是朝中重臣，不便得罪他，打算通过一种传统仪式进行选择。 仪式规定：在大厅安放8根凳子，如上图所示，再从宫中选出6名伴娘，让公主、本罕和伴娘围坐在大厅中，然后由礼仪大臣投掷两枚骰子，根据两枚骰子的点数和，以公主位置为起点，顺时针报数淘汰。例如，骰子数的和是K，就从公主开始报数，1、2、K，1、2、K， 每报到数K，这个人就淘汰出列，然后又从下一人开始报数，第K个人又被淘汰，如此下去，直到只剩下最后一个人为止。如果最后剩下的是求婚者，那么求婚者就可以成为公主的丈夫，否则求婚者失败。马尔罕一听这办法，想了想：既然是掷骰子确定，总共8个人，儿子选中的机会只有1/8，觉得太小，他请求国王多给几次机会给儿子。国王想了想，同意给本罕三次机会，马尔罕觉得很不错，兴冲冲地回府了。,仪式开始，聪明的公主已经看出玄机，她彬彬有礼地让本罕先人座，然后公主紧邻本罕右侧入座，最后6名伴娘入座。礼仪大臣投掷两枚骰子，骰子数和为5，很快本罕就被淘汰；礼仪大臣第2次投掷骰子数和为7，本罕很快又被淘汰了；接着礼仪大臣第3次投掷骰子，本罕仍被淘汰；宰相马尔罕不甘心，跪在国王面前恳求，希望再给儿子一次机会。国王只好同意再给本罕一次机会。公主仍彬彬有礼地让本罕先入座，自己又紧邻本罕右侧入座，礼仪大臣第4次掷出骰子数和为9，但是本罕还是被淘汰了；本罕母亲仍不甘心，全家人跪在国王面前恳求，希望国王看在本罕一片痴情的份上，再给儿子一次机会。“可怜天下父母心”，马尔罕夫妻的表现打动了国王，国王最后又给了本罕1次机会。公主还是彬彬有礼地让本罕先入座，自己仍紧邻本罕右侧入座。可是，第5次本罕依然被淘汰。宰相马尔罕摇头叹息：“天命!”一家人郁闷地打道回府了。 1马尔罕的疑惑 根据宰相马尔罕的思路，投1次骰子，本罕被选中的概率是1/8，国王给了本罕5次机会，本罕被选中的概率应该是1-(7/8)5，约为48.7，事实上本罕却失败了。难道本罕的失败真的是天命吗?宰相马尔罕的思路正确吗? 2本罕失败的原因 根据上面的叙述，我们知道公主坐的1号位置，本罕坐的是2号位置，8个人的位置如下图。下面我们探究2号位本罕被淘汰的情况。 (1)如果骰子数和为2，淘汰顺序为2，本罕第1个本罕在游戏中确实输了，如果把失败归咎于“天命”，不仅输了，而且很愚昧。只有探究失败的原因，让自己输得明白，才能避免重蹈覆辙。 被淘汰； (2)如果骰子数和为3，淘汰顺序序为36152，本罕第5个被淘汰； (3)如果骰子数和为4，淘汰顺序为4852，本罕第4个被淘汰； (4)如果骰子数和为5，淘汰顺序为52，本罕第2个被淘汰； (5)如果骰子数和为6，淘汰顺序为6435872，本罕第7个被淘汰；,做一做 如果骰子数和分别为7、8、9、10、11、12，淘汰的顺序是什么，本罕第几个被淘汰? 通过上面的探讨发现，无论两枚骰子的点数和是多少，2号位本罕都将被淘汰。本罕父子不懂数学，以为投两枚骰子点数和只有11种结果。在不知道研究方法的情况下，枚举法虽然笨拙，但也是一种简单而有效的方法。研究结果告诉我们：不要相信骰子很公平，其实骰子也骗人，对事物的认识绝对不能想当然。 掷骰子是随机的，坐哪个位置都一样。其实，从博弈学的观点看，本罕的2号位置是最差位置，选择2号位置属于劣势策略。而公主选择本罕右边的1号位置是最佳位置，选择1号位置属于优胜策略。,二、情郎的机智本文题材新颖，趣味盎然，集趣味性和科学性一体，有浓郁的童话味道，可读性强。 话说公主约瑟芬在朋友的一次生日宴会上爱上了青年乔治，由于乔治的父亲是一个小官，他不敢向国王提亲。在公主的多次鼓励下，他才鼓足勇气向国王表达了自己对约瑟芬的爱慕。国王嫌弃乔治的出身，可是面对公主恳求的眼神，实在不忍心拒绝。国王有意为难乔治，同时想考验乔治的智慧，他决定还是通过传统仪式来考验乔治，也给了他3次机会。但国王知道公主掌握了传统仪式的优胜策略，公主很可能把传统仪式的优胜策略告诉乔治，所以国王打算对传统仪式进行改进。他决定增加两位伴娘，加上乔治和公主共10人，将六面体骰子改为正四面体骰子，骰子各表面的点数分别为1、2、3、4。淘汰方法仍然根据骰子点数，顺时针报数淘汰。如下图所示。 仪式开始，国王让公主先入座，然后请乔治入座，聪明的乔治略有所思，选择一个恰当位置坐下，最后8名伴娘也入座。礼仪大臣投掷两枚骰子。最后剩下的果真就是乔治。真是天赐良缘，有情人终成眷属。,1乔治坐哪个位置最易获胜 从本罕失败的原因可以发现，每个位置胜出的概率不相同，乔治要想在仪式中胜出，他必须选择博弈论中的优胜策略，即选择一个被选中的概率最大的座位。但是，这10个座位中哪个位置被选中的概率最大? 2乔治制胜玄机探究 根据上面的叙述，我们可以假设公主坐的1号位置，其他位置分别是2、3、4、5、6、7、8、9、10号。如下图， 下面我们探究骰子投掷不同点数后最后剩下的号数情况。 (1)骰子点数和为2，最后被选中的为位置5； (2)骰子点数和为3，最后被选中的为位置4；生活的失败留给人教训，生活的成功给予人经验。乔治的成功不是靠运气，而是在于他掌握了博弈中的优胜策略。只有掌握了优胜策略，我们才可能获得成功的经验。掌握优胜策略的途径就是：自主探究。 (3)骰子点数和为4，最后被选中的为位置5； (4)骰子点数和为5，最后被选中的为位置3； (5)骰子点数和为6，最后被选中的为位置3； (6)骰子点数和为7，最后被选中的为位置9； (7)骰子点数和为8，最后被选中的为位置1。 由此可见，最后被选中的没有2号位置、6号位置、7号位置、8号位置和10号位置。所以选择这5个位置是劣势策略，乔治如果稍有疏忽，只要选中这些位置就可能彻底失败。而其他5个位置都有被选中的机会，但是，这5个位置哪个被选中的概率更大呢?且看骰子点数出现的概率情况：,研究中涉及数学中概率和分布列等知识，可见，没有扎实的数学功底，研究也是空谈。数学是博弈论的基础，也是经济学的基础，没有数学知识的储备，我们不可能真正掌握博弈论，所以，机会无缘浅薄者，机会总是留给聪明人。 我们令座位对应的随机变量为f(其中f=1，2，3，10)，而骰子点数对应的随机变量为l(其中l=2，3，4，5，6，7，8)。于是可以求出： P(f=2)=P(f=6)=P(f=7)=P(f=8)=P(f=10)=0； P(f=1)=P(l=8)=1/16 P(f=3)=P(l=5)+P(l=6)=4/16+3/16=7/16 P(f=4)=P(l=3)=2/16 P(f=5)=P(l=2)+P(l=4)=1/16+3/16=4/16 P(f=9)=P(l=7)=2/16 由此可知，乔治若选择3号座位，被选中的概率最大，所以，乔治选择3号座位从博弈论的观点看是优胜策略。在3次投掷骰子的选择中，乔治被选中的概率为 P=1-1-(f=3)3=1-(9/16)3=3367/40960.822 乔治在选拔中座位如下：,尝试实践,我对博弈论的理解： 我在生活、学习中用到的博弈论有： 以上的研究只是问题的两个特殊例子，不具一般性，有兴趣的话可以深入研究如下问题： 1如果圆圈上有100个人，求婚者报数1、2，1、2，每报到数2，这个人就被淘汰出列，如此下去，直到只剩下最后一个人为止，最后剩下的这个人就是公主的丈夫。公主依然根据自己的意愿任意挑选一个位置作为起点，那么乔治应该选择哪个位置? 2如果圆圈上有100个人，求婚者报数1、2、3，1、2、3，每报到数3，这个人就被淘汰出列，如此下去，直到只剩下最后一个人为止，最后剩下的这个人就是公主的丈夫。那么乔治应该选择哪个位置? 3如果圆圈上有n个人，求婚者报数1、2、K，1、2、K，每报到数K，这个人就被淘汰出列，如此下去，直到只剩下最后一个人为止，最后剩下的这个人就是公主的丈夫。那么乔治应该选择哪个位置?能否寻找一个关于n、K的关系式?,三、拓展研究,博弈论虽是新兴科学，却容易普及，有“三天读懂博弈学”之说。博弈学虽与数学相关，却贴近生活，可以说生活处处有博弈。高中生选取一些生活现象，利用所学知识，探究问题解决的最佳对策，这也是对博弈论的活学活用。对此，我们提供一些参考课题。 1银行储蓄中有单利、复利，零存整取，整存整取，一年定期自动转存，多年定期存款等存款形式，研究银行存款问题，给储户提供一种最佳的储蓄方案。 2同学间常常互送礼物，选取1-2种礼品，研究礼品的包装方法，以及如何包装才最节约包装材料。生活中的游戏和最优化问题很多，研究游戏取胜策略和最佳对策，既是数学问题，也是博弈论牛的最佳策略问题。 3现在各商场都有以旧换新的促销活动，例如，某酒厂声称：“本厂创业，优惠顾客，凡是购买本厂产品的顾客，可用3个空瓶换1瓶酒喝，决不食言。” 如果你买了N瓶这种酒，拿这N个空瓶去换酒，探究一种最佳兑换方案，使你能喝到最多的酒。 4有若干堆火柴，每堆火柴的数目是任意的，现由A、B两人轮流取火柴，每人每次可以取走一堆火柴或一堆火柴中的几根，但不能不取，也不能跨堆取。约定谁取到最后一根火柴就算谁赢。研究游戏的取胜策略。,四、信 息 库,1参考书籍 (1)白波图说博弈论：生存竞争中的策略游戏哈尔滨：哈尔滨出版社，2009 (2)徐宪江，郑治伟三天读懂博弈学北京：九州出版社，2009 (3)刘娟，何君每天懂点博弈学北京