数列的概念及简单表示法.ppt

1,1.按 叫数列，数列中的 都叫 做个数的项；在函数意义下,数列是 . , f(n)是当自变量n从1开始依次取自然 数时所对应的 f(1)，f(2)，f(n).通常用 an代替f(n)，故数列的一般形式为: , 简记为an,其中an是数列的第 项.,3.1 数列的概念及简单表示法,要点梳理,每一个数,定义域为N*（或它的,有限子集）的函数,一列函数值,a1,a2,a3,an,n,第三章 数 列,一定次序排成的一列数,2,2.如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，那么an=f(n)叫做数列的 .但并非 每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的. 3.如已知数列an的第 项(或 )，且 与它 的 (或 )间的关系可以用一个公式表示， 此公式叫数列的递推公式.数列常用表示法有: . 、 、 . 4.数列按项数来分,分为 、 ；按项的增减 规律分为 、 、 和 .,通项公式,1,前几项,任一项an,前一项an-1,前几项,解析法,通项公式或递推公式),列表法,图象法,有穷数列,无穷数列,递增数列,递减数列,摆动数列,常数列,3,递增数列an+1 an；递减数列an+1 an；常数列an+1 an. 递增数列与递减数列通称为 . 按任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分,可分为 . 和 . 5.已知Sn则 .数列an中，若an最大， 则 若an最小，则,=,单调数列,有界,数列,无界数列,，,n=1,n2,.,.,.,.,an-1,an+1,an-1,an+1,S1,Sn-Sn-1,4,1.下列对数列的理解有四种： 数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集1，2， 3， ，n）上的 函数；数列的项数是有限的； 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； 数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ ） A. B. C. D. 解析 由数列与函数的关系知对，对，由数列的分类 知不对，数列的通项公式不是惟一的，不对.,基础自测,C,5,2.设an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第几项的和 最大 （ ） A.10 B.11 C.10或11 D.12 解析 an=-n2+10n+11是关于n的二次函数，它是抛物线 f(x)=-x2+10x+11上的一些离散的点，从图象可看出前10项 都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大.,C,6,3.已知数列an的通项公式是 那么这个数列是 （ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 解析 an+1an,数列an为递增数列.,A,7,4.已知数列an的通项公式是 则 a2a3等于 （ ） A.70 B.28 C.20 D.8 解析 易知a2=2,a3=10. 5.(2008北京理，6）已知数列an对任意的p,qN*满足 ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10等于 （ ） A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 解析 由ap+q=ap+aq,a2=-6,得a4=a2+a2=-12,同理a8=a4+a4=- 24,所以a10=a8+a2=-24-6=-30.,n为奇数，,n为偶数，,C,C,8,写出下面各数列的一个通项公式： （1）3，5，7，9； （2） （3） （4） （5）3，33，333，3 333，； 【思维启迪】 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数的关系及项与前后项的关系.,题型一 由数列前几项求数列的通项公式,9,（2）每一项的分子比分母少不1,而分母组成数列21，22，23， 24，；所以 (3)奇数项为负,偶数项为正，故通项公式中含因子（-1)n； 各项绝对值的的分母组成数列1，2，3，4，;而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1， 所以 也可以为 .,（n为正奇数）,（n为正偶数）,10,(4)偶数项为负,奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1,观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见,分母分别由奇数7,9,11,13组成,而分子则是32+1,42+1,52+1,62+1,按照这样的规律第1,2两项可改写为 所以 （5）将数列各项改写为 分母都是3，分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1, 所以,11,探究拓展 （1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化成一些常见数列的通项公式来求。 （2）根据数列的前几项写出数列的一个通项式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整. （3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目有，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）建立合理的联想转换而使问题得到解决。,12,已知数列的通项公式为 （1）0.98是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性. 【思维启迪】（1）令an=0.98,看能否求出正整数n; (2)判断an+1-an的正负. 解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足 n2=0.98n2+0.98. n=7时成立，0.98是它的项.,题型二 已知通项公式，判断数列性质,13,（2） 此数列为递增数列. 探究拓展 （1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的 方程an=k是否有正整数解. （2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小.,14,（12分）已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1 =0 (n2), 求an. 【思维启迪】 由已知条件可将an=Sn-Sn-1 （n2)代入等 式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推得数列 具有等差数列的特征，进而求得Sn，再得an. 解 当n2时，an=Sn-Sn-1, Sn-Sn-1+2SnSn-1=0， 即,题型三 由an与Sn的关系求an或Sn,15,数列 是公差为2的等差数列. 6分 又 当n2时， 12分,n=1,n2,.,16,探究拓展 数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ，此公式经常使用，应引起足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一，当n2时求出an也适合n=1时的情形，可直接写成an=Sn=Sn-1,否则分段表示.,n=1,n2,17,方法与技巧 1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用 （-1）n来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系， 一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想 和转化的方法. 2. . 3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度 较难把握.一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；,（n=1）,（n2）,18,(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+)由 待定系数法求出，再化为等比数列； （3）逐差累加或累乘法. 4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇. 失误与防范 1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数 集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对 应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要 注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性. 2.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓 住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻 项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进 行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.,19,1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1） （2） （3）5，55，555，5 555，55 555， （4）5，0，-5，0。5，0，-5，0， （5）1，3，7，15，31， 解析（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分 母可分角成13,35,57,79,911，每一项都是 两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式,20,（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项 都统一成分数再观察： 可得通项公式 （3）联想 则,21,即 (4)数列的各项都具有周期性,联想其本教列1,0,-1,0， 则 （5）1=2-1，3=22-1，7=23-1， an=2n-1 故所求数列的通项公式为an=2n-1.,22,2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n （1）求数列an的通项公式； （2）求证：数列an是递减数列. （1）解 f（x）=2x-2-x， f（log2an）=2log2an-2-log2an=-2 即,23,（2）证明 an0， an+1an.即an为递减数列.,24,3.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且 散 求an. 解 当n2时，an=Sn-Sn-1 整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0， an0，an-an-1=2， 当n=1时，a1=1, an是以1为首项，2为公差的等差数列. an=2n-1 (nN*).,25,1.A 2.A 3.数列 的一个通项公式an是 ( ) A. B. C. D. 解析 将数列中的各项变为 故其通项,D,26,4.D 5.B 6.若数列an的通项公式 记f（n）=2(1-a1)(1- a2)(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n) 为 （ ） A. B. C. D. 解析 可猜测,C,27,7. 8.（2009武汉武昌区调研测试）数列an中，a3=2,a7=1 数列 是等差数列，则a11 . 9.已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列 的通项公式. 解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1 Sn=2n+1-1. a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2), an的通项公式为,n=1,n1,28,10.已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn- 4,an, 总成等差数列. （1）求a2