无穷级数第二节幂级数.ppt

- 1 -,第二节 幂级数,函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛区间 幂级数的运算 函数展开成幂级数 函数的幂级数展开式的一些应用,- 2 -,一 函数项级数的一般概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数列, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,- 3 -,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,- 4 -,例如, 等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如, 级数,级数发散 ;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,- 5 -,二 幂级数及其收敛区间,形如,的函数项级数称为,其中,称 为幂级数的系数 .,的幂级数,称 为,的幂级数.,- 6 -,收敛,发散,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,- 7 -,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的 x , 原幂级数也发散 .,时幂级数发散 ,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,- 8 -,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,如果幂级数,不是仅在,一点,存在,收敛,也不是在整个数轴上都收敛,定的正数,则必有一个完全确,它具有下列性质:,当,时,幂级数绝对收敛;,当,时,幂级数发散;,当,时,幂级数可能收敛也可能发散.,- 9 -,正数R称为幂级数的收敛半径.,幂级数的收敛域称,为幂级数的收敛区间.,收敛区间为下列四种形式之一,规定,(1) 幂级数只在,处收敛,收敛区间,收敛半径,(2) 幂级数对一切,都收敛,收敛半径,收敛区间,说明,幂级数,如果在,处条件收敛，,则,一定是该幂级数收敛区间的端点，,即该幂级数的收敛,半径,- 10 -,问题,如何求幂级数的收敛半径?,定理2.,的系数满足,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则,若,如果幂级数,如果在,处收敛，,而在,处发散,则,一定是该幂级数收敛区间的端点，,即该幂级数的收敛,半径,- 11 -,证:,1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,即,时,2) 若,则根据比值审敛法可知,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此级数的收敛半径,- 12 -,的收敛半径为,说明:据此定理,对端点 x =1,的收敛半径及收敛区间.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛区间为,例1.求幂级数,- 13 -,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,- 14 -,例3.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,- 15 -,例4.,的收敛区间.,解: 令,级数变为,当 t = 2 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛区间为,故原级数的收敛区间,即,- 16 -,例5.,的收敛半径、收敛区间.,解,当,时，,因为,所以,收敛，,原级数绝对收敛,当,时，,由于,所以原级数发散，,所以级数的收敛半径,收敛,区间,- 17 -,三 幂级数的运算,定理3.,及,的收敛半径分别为,令,则有 :,其中,以上结论可用部分和的极限证明 .,设幂级数,1.代数运算性质:,- 18 -,2.和函数的分析运算性质:,幂级数,的和函数,在收敛区间,内连续,(2)幂级数,的和函数,在收敛区间,内可积,可逐项积分.,(收敛半径不变),即,在端点收敛,则在端点单侧连续.,且对,- 19 -,(3)幂级数,的和函数,在收敛区间,内可导,并可逐项求导任意次.,即,(收敛半径不变),- 20 -,例6.,的和函数,解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发,散,- 21 -,解,两边积分得,例7 求级数,的和函数.,- 22 -,解,收敛区间(-1,1),例8 求,的和.,- 23 -,四 函数展开成幂级数,1 函数的幂级数展开式泰勒级数,问题:,2) 如果能展开，,3) 展开式是否唯一?,1) 在什么条件下才能展开成,如何计算？,的冪级数：,4) 在什么条件下,收敛到,- 24 -,如果函数,在,内具有任意阶导数,且在,有,- 25 -,定义 设,在,的某个领域内有任意阶导数,则幂级数,称为,在,处的泰勒(Taylor)级数，,而系数,称为泰勒系数。,特别当,时，,幂级数,- 26 -,称为,的麦克劳林(Maclaucin)级数。,综上所述,可以展开成幂级数,的必要条件是,在,的某个领域内有任意阶,导数，,且此幂级数必是,在,处的泰勒级数，,即,的幂级数展开式是唯一的。,2,的泰勒级数收敛于,的充要条件,定理4,各阶导数,则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f (x) 的泰勒公式中的余项满足:,设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域,内具有,- 27 -,证明:,令,3,函数展开成幂级数(直接展开法),步骤,1) 求,2) 求,3) 写出x-x0幂级数,并求其收敛半径R,- 28 -,4) 在收敛区间上考察当,时，,的泰勒公式,余项,是否趋向于,零，,若是则所求的幂级数在收敛区间上收敛于,- 29 -,例9,将函数,展开成,的幂级数。,解,的麦克劳林级数,收敛区间为,所以,- 30 -,例10 将,展开成 x 的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数 x , 其余项满足,- 31 -,类似可推出:,- 32 -,例11 将函数,展开成 x 的幂级数, 其中m,为任意常数 .,解: 易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间 (1, 1) 内收敛.,因此对任意常数 m,- 33 -,推导,则,为避免研究余项 , 设此级数的和函数为,- 34 -,称为二项展开式 .,说明：,(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .,(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.,由此得,- 35 -,对应,的二项展开式分别为,- 36 -,4,函数展开成幂级数(间接展开法),利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例12 将函数,展开成 x 的幂级数.,解: 因为,把 x 换成, 得,将所给函数展开成 幂级数.,- 37 -,例13 将函数,展开成x的幂级数.,解,- 38 -,例14 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分, 得,定义且连续,区间为,上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,- 39 -,特别取x =1可得,因此,- 40 -,例15 将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,- 41 -,例16 将,展成 x1 的幂级数.,解:,- 42 -,五 函数的幂级数展开式的一些应用,1 近似计算,两类问题:,1.给定项数,求近似值并估计精度;,2.给出精度,确定项数.,关健:,通过估计余项,确定精度或项数.,常用方法:,1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决;,2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等 比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.,- 43 -,例17,解,余和:,- 44 -,例18