无穷小量与无穷大量,极限运算法则.ppt

1,2-3 无穷小量与无穷大量,2,恒有,定理：,复习,3,定理：,(1) 该定理常用于求分段函数在分界点的极限问题,f(x)的极限是否存在与函数在 x= x0是否有定义“无”关.,(即考察左右极限是否存在且相等).,4,一、无穷小量与无穷大量,极限为零的变量称为无穷小,1.无穷小量定义：,记作,例如：,(或,所以函数,所以,第三节 无穷小量与无穷大量,5,注意,(1)无穷小是函数(变量),不是一个很小的常数;,(2)零是可以作为无穷小的唯一的常数.,(3)说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.,如：,是当,时的,时呢？,就不是无穷小.,无穷小.,6,二、无穷小与函数极限的关系,1、定理1：,其中：,证,必要性,充分性,7,2、作用,把求一般的极限问题转化为求特殊极限(无穷小)的问题;,3、无穷小的运算性质:,在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意：无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.,性质1：,如：,定理1：,例如：,8,有界变量与无穷小的乘积是无穷小.,性质2：,例,解,思考：,0,0,9,有界变量与无穷小的乘积是无穷小.,性质2：,推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小.,例如：,=0.,推论2：在同一极限过程中,有极限的变量与无穷小,的乘积是无穷小.,例如：,0，,0.,10,性质3：有限个无穷小的乘积也是无穷小.,例如：,0.,三、无穷大量,1.定义: 如果在自变量的同一变化过程中,变量(函数)f(x)的绝对值无限增大,则称该变量是这个变化过程中的无穷大量。记作limf(x)=。,是,时的无穷大.,是,时的正无穷大量.,例如：,11,注意:,(1)记号limf(x)没有指明自变量的变化过程，指的,是任意一种变化过程。,(2)无穷大是函数(变量),不能与很大的常数混淆;,(4)无穷大的概念是反映变量的变化趋势，因此,谈及无穷大,一定指明,自变量的变化趋势.,不是无穷大.,例,12,(5) 无穷大一定无界,但无界不一定是无穷大.,如,2.无穷大量的性质,性质1 两个无穷大量的乘积还是无穷大量. 性质2 有界量与无穷大量的和还是无穷大量.,注意: 两个无穷大量的和未必还是无穷大量;有界量与无穷大量的乘积也未必还是无穷大量.,13,3.铅直渐近线,如果,的垂直渐近线.,为常数),(垂直于 轴的渐近线),例如,有铅直渐近线:,14,四、无穷小与无穷大的关系,定理2:,意义：,无穷小的倒数为无穷大.,（证明略）,设想：,无穷大的积是无穷大，和、差、商不一定是无穷大,恒不为零的,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,答：,无穷大的和、差、积、商是否为无穷大呢？,15,第四节 极限的运算法则,一、 极限的运算法则,定理1 若limf(x)=A,limg(x)=B均存在,则 (1) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB (2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB (3) 若B0,则 lim = = ,16,证 仅证明(2) limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB,因 limf(x)=A,limg(x)=B均存在,由极限与无穷小量的关系定理,有f(x)=A+(x),g(x)=B+(x),其中 lim (x)=0, lim (x)=0,17,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,注意：四则运算法则1、2可以推广到有限多个函数的情形。,(n可推广至实数),18,数列也有类似的四则法则.,即,定理4,那么,证：,则,由,19,解,？,解,即,（代入法）,20,例2,解,（代入法）,21,则:,22,解,说明:无穷小与无穷小的商不一定是无穷小.,约零因式法,方法是:先约去不为零的无穷小因子(x-3)后再求极限.,23,例4,解,24,由无穷小与无穷大的关系,得,（无穷小与无穷大的关系法）,解,商的法则不能用,例5,又,25,例5,解,先用x3去除分子及分母，然后取极限：,解,先用x3去除分子及分母，然后取极限：,(无穷小因子分出法),例6,26,解,先用x3去除分子及分母，然后取极限：,解,(无穷小因子分出法),例7,(无穷小与无穷大关系法),例6,27,注意：,以分母中自变量的最高次幂项中的xn分别除,分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限的方法.,无穷小因子分出法:,28,解,先变形再求极限.,例8,(化无限为有限),29,例9,解,30,意义：,定理：,四.复合函数的极限运算法则,31,例10,解,分析：,复合而成，,则有,32,例11 求,解：令u=arctanx,则,33,小结,1、无穷小与无穷大:,无穷小与无穷大是相对于极限过程(x的变化趋势)而言的.,一种极限是零，另一种极限是无穷大.,(1)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,重要性质,(2)在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;,恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,34,2. 极限的求法：,1、代入法；,2、约零因式法；,3、