2020版高考数学第三章导数在研究函数中的应用（第1课时）导数与函数的单调性、极值与最值讲义（含解析）.docx

第二节导数在研究函数中的应用第1课时必备知识导数与函数的单调性、极值与最值利用导数研究函数的单调性1.函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f(x)的关系(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间上是单调递增(2)若f(x)0或f(x)1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以00，a0.答案：(0，) 利用导数研究函数的极值1.函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点提醒(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)极大值与极小值之间无确定的大小关系(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数(3)f(x0)0是x0为f(x)的极值点的必要而非充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点1.设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点答案：D2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选A由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点3.若函数f(x)x3ax23x9在x3时取得极值，则a的值为()A2 B3C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即3(3)22a(3)30，解得a5.4.已知f(x)x33ax2bxa2，当x1时有极值0，则ab的值为_解析：f(x)3x26axb，由题意得即解之，得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立，所以f(x)在x1处无极值，舍去所以a2，b9.所以ab11.答案：115设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是_解析：由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1，x2满足x12x2.所以f(2)128aa20，解得2a0，解得x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在 (2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值f(1)1.答案：1函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值提醒求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论1.函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为()A1e B1Ce D0解析：选B因为f(x)1，当x(0,1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e，所以当x1时，f(x)取得最大值ln 111.2.函数f(x)x44x(|x|0)，f(1)0，f(0)0，f(4)0，所以f(x)的最小值为0.答案：06已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_解析：f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当cos x时，f(x)时，f(x)0，f(