D18连续性间断点(40).ppt

,三、 函数的间断点及其分类.,二、连续函数的运算与初等函数的连续性,第八节,函数的连续性和间断点,第一章,一、函数连续的概念,一、变量增量的概念,变量,变到,增量（改变量）：,将增量记为 ，即,增量可正可负，可为零。,例如：,对函数 y = f (x) ，,当 x ： 时,为 y = f (x)在 x0 处的增量。,二、函数连续性的概念,对 y = f (x) ，,左图：在点 曲线“连着”,右图：在点 曲线“断开”,。,定义1,在,的某邻域内有定义 ,设函数,则称函数 在点 连续，否则称为间断。,说明:,1. 连续本质当自变量 x 的变化很小时, f (x) 的变,化也很小.,2. 连续几何意义 曲线 yf (x) 在 点连在一起。,如果,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),存在,(2),存在,定义2（连续的等价定义）:,如果 ，则称 在点 连续.,例1. 讨论函数,在x=0处的连续性,解,f (0)=a ,(1),当,f (x)在x=0处连续.,(2),当,f (x)在x=0处不连续.,例2,求a、b 的值, 使,在 x0 连续。,解,依题意,，则称 在点 左连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 f ( x ) 在( a , b )内每一点都连续 ,则称 f ( x )在,该区间上连续，把( a , b )称为f ( x ) 的连续区间.,连续，在 xb 处左连续，则称 f ( x )在闭区间,定义3（左、右连续的定义）:,如果 ，则称 在点 右连续,显然：,连续,左连续且右连续,定义4,定义5,若 f ( x ) 在( a , b )内连续 , 且f ( x )在 xa 处右, a , b 上连续。,例3. 证明函数,在,内连续. (不记),证:,即 ，所以,在,内连续。,定理2. 连续单调递增 函数的反函数,三、连续函数的运算法则,定理1. 连续函数的有限次和 , 差 , 积 ,商(分母不为 0),仍是连续函数 .,(递减).,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,例如：,在其定义域内连续,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. 连续函数的复合函数是连续的。,例如,是由连续函数,因此,在,上连续 .,复合而成 ,定理4,例4. 求,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,解,原极限=,例5. 求,解,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数连续区间的求法,1. 对初等函数，连续区间就是定义区间.,2. 对分段函数，分段点是否连续需单独讨论，,但其它点处一定连续。,例6. 求,的连续区间.,解：,f(x)的连续区间为,例7. 讨论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的连续性 .,解：,例7. 讨论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的连续性 ., f(x)在x=0处不连续，,从而f(x)在,上连续.,不存在,例8.,讨论函数,的连续性.,关键：,先求出极限。,解：,当,时,当,时,当,时,当,时,当,时,当,时,五、间断点及其分类,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类间断点:,、,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,、,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 。,为,例9 判断下列间断点的类型,间断点 .,可去,(2),为其跳跃间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷