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文档简介

补充：函数一致连续的概念,设函数f(x)在区间 I 上连续，,或：对于 0, 0，当|x-x0|时，有|f(x)-f(x0)|。 (*),问题 给定一个 0，是否可找到满足（*）式一个 最小的，对 I 中的一切x0点都适合？, 0，要找对一切 x00.1, 1都适用的。从主要 不等式,定义 设f(x)在区间 I 上连续，若 0, 0 （仅与有关，与x0无关），对于 I 上任意二点 x,x，只要| x-x |，就有| f(x)-f(x)|，此时称 f(x) 在 I 上一致连续。,注 1）非一致连续函数的分析描述 对于某一 0，对于任意的0，总可以找到区间 I 中的两点 x,x ，虽然| x- x|，但是|f(x)-f(x)| 例：1/x , x ( 0，1 .,2）一致连续的几何意义,一致连续函数 只要自变量| x-x|，则函数值|f(x)-f(x)| 。,作一个管子如图,几何意义 存在这样的一个管子，可以在一致连续函数曲线上平行移动。,3） 通常函数在区间上非一致连续的现象只可能出现在区间的端点上、间断点的附近（图形有无限陡峭的情况）。,康托定理(Cantor) 若f(x)在a，b上连续，则 f(x)在a，b 上一致连续。,证明：反证法,假设f(x)在a，b上不一致连续，即：对某一 0 0， 对一切,xna，b，xna，b (n=1,2,)， xn，xn是二个有界无穷数列，,“有界无穷数列定存在收敛的子数列”,取xn的一串子列 ，随之挑出xn的 子列 . 利用两个子列的关系, 有,二边取极限，有 | f(x0)- f(x0)| 0 ，矛盾！, f(x)在a，b上一致连续。,举例：,1. 证明 f(x)=sin(/x) 在（0，1）上连续有界的，但非一致连续。,证：命题的前一部分是显然的。现证它并不一致连续。,，只要n充分大，无论 怎样小，, f(x)在(0，1)上非一致连续。,xn 与xn 可以非常靠近,2 . 函数 f(x)=x2在下列区间中是否为一致连续。,a) （-l，l），l是一正数； b) 在（，+）上。, f(x)在（-l，l）上一致连续。,取=2，当x1-x2 时，有f(x1)-f(x2) 。,故f(x)在(，+)上非
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