创新设计2011第二章函数.pptVIP

了解函数单调性的概念、掌握一些简单函数单调性的判断方法、并能利用函数的单调性解决一些函数问题,第6课时 函数的单调性,1增函数与减函数定义 对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2， (1)若当x1f(x2)，则说f(x)在这个区间上是 2单调性与单调区间 若函数yf(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说函数f(x)在这一区间具有 (严格的) ，这一区间叫做函数f(x)的 此时也说函数是这一区间上的单调函数,增函数,减函数,单调性,单调区间,3复合函数单调性的判断 对于函数yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x(a，b)时，u(m，n)，且yf(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数yf(g(x)在区间(a，b)具有单调性的规律见下表：,增 ,减 ,减 ,增 ,1(2009福建)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是( ) Af(x) Bf(x)(x1)2 Cf(x)ex Df(x)ln(x1) 解析：f(x) 在(0，)上递减，f(x)(x1)2在(1，)上递增， f(x)ex在(，)上递增，f(x)ln(x1)在(1，)上递增 答案：A,2已知f(x)为R上的减函数，则满足f(| |)1，不等式等价于 ，解得1x1，且x0. 答案：C,3设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题： 若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递增；若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递增；若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递减；若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递减其中，正确的命题是( ) A B C D 答案：C,4若f(x)|xa|在区间1，)上为增函数，则实数a的取值范围是_ 解析：函数f(x)|xa|的递增区间为a，)， 由已知1，)a，)则a1. 答案：(，1,【例1】求下列函数的单调区间： 解答：(1)解法一：f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1x2，都有f(x1)f(x2) 当x1，x2(1,1)时，即|x1|1，|x2|1， |x1x2|1，则x1x21,1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)， f(x)为增函数,当x1，x2(，1或1，)时，1x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)为减函数 综上所述，f(x)在1,1上是增函数，在(，1及1，)上是减函数 由f(x)0解得1x1.由f(x)0解得x1或x1， f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数 (2)定义域为(，b)(b，)在定义域内任取x1x2，f(x1)f(x2),ab0，ba0，x1x20，只有当x1x2b或bx1x2时， 函数才单调当x1x2b或bx1x2时，f(x1)f(x2)0. f(x)在(b，)上是单调减函数，在(，b)上是单调减函数 f(x)的单调减区间是(b，) 与(，b) (3)x须满足 由 得1x1. 所以函数f(x)的定义域为 (1,0)(0,1) f(x)的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，,内单调递减由于f(x)是奇函数，所以f(x)在(1,0)内单调递减 f(x)的单调递减区间为(1,0)和(0,1),a)(exex)0恒成立 exex不可能恒为“0”，当a0时等式恒成立，a1. 解法一：在0，)上任取x1x2，,则f(x1)f(x2)ex1,f(x)是0，)上的增函数，f(x)为偶函数，f(x)在(，0上是减函数 解法二：由f(x)exex，得f(x)exexex(e2x1) 当x0时，ex0，e2x1，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数 当x0时，f(x)0，f(x)在(，0上是减函数 f(x)的单调递增区间为0，)，f(x)的单调递减区间为(，0.,已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值和范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解,【例2】已知函数f(x) (a0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围 解答：解法一：设2a恒成立又x1x24，则00)的递增区间是 (， )，( ，)， 根据已知条件 2，解得0a4.,变式2.函数y 在(1，)上单调递增，则a的取值范围是( ) Aa3 Ba3 Ca3 Da3 答案：C,学习数学的重要性在于应用，研究函数的单调性，可解决比较函数值的大小，解不等式，求函数的值域(或最值)，作函数图象等问题,【例3】已知函数f(x) ， (1)判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性并加以证明；(2)求函数f(x)的值域 解答：(1)当x0时，f(x) 可以证明f(x)在(0，)上递增，设0x1x2，f(x1)f(x2) ，由0x1x2可得f(x1)f(x2)0， 即f(x1)f(x2)，因此f(x)在(0，)上递增,(2)f(x) 可以证明f(x)在(，2)上递减且f(x)在(2,0)上递减，f(x)的图象如图所示，因此f(x)的值域为：(，1)0，),变式3.已知函数f(x) 满足对任意x1x2，都有 0成立，则a的取值范围是( ) A(0， B(0,1) C ，1) D(0,3) 解析：当x0时，f(x)ax为减函数，则0a1； 当x0时，f(x)(a3)x4a为减函数，需a30，即a3； 又函数f(x)在(，)上为减函数，则需f(0)1，即4a1，得a . 由得0a ，故选A. 答案：A,1熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的两种等价形式：设x1、x2a，b，那么 (1) 0f(x)在a，b上是增函数； 0f(x)在a，b上 是减函数； (2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数 需要指出的是(1)的几何意义是：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2) 连线的斜率都大于(或小于)零,【方法规律】,2判断函数单调性的常用方法： (1)定义法 (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是 增(减)函数 (3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相 反的单调性 (4)互为反函数的两个函数有相同的单调性 (5)如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数 (6)如果yf(u)和ug(x)单调性相同，那么yfg(x)是增函数；如果yf(u)和ug(x)单调性相反，那么yfg(x)是减函数,(7)若当x(a，b)时，f(x)0，则f(x)在(a，b)上递增；若当x(a，b)时，f(x)0，则f(x)在(a，b)上递减 (8)利用函数图象判断函数单调性 3利用函数的单调性可解决不等式、方程和求函数的最值等问题 4要深刻认识函数的单调性的意义和作用，比如什么叫做一个函数在某区间上不单调；函数的单调性与函数的定义域、值域、函数图象以及与函数相关的方程和不等式都有着极其密切的联系.,(本题满分12分)已知函数f(x) (aR) (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)当a1时，讨论函数f(x)在区间(1，)上的单调性,【考卷实录】,1. 本题对函数的奇偶性和单调性进行较为全面的考查，本题单调性的判断源于很多教学参考书上出现的“对勾”函数 2当a1时，函数解析式可变形为： 这样