2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第1讲导数与函数的单调性精选教案理.doc

第14讲导数与函数的单调性考纲要求考情分析命题趋势了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2017全国卷，212017江苏卷，112017浙江卷，72017山东卷，15导数与函数的单调性是高考命题热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大分值：58分函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_单调递增_；(2)若f(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间内没有单调性()(3)导数为零的点不一定是极值点()(4)三次函数在R上必有极大值和极小值()解析(1)错误函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，故f(x)0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)正确如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数函数如f(x)3，则f(x)0，函数f(x)不存在单调性(3)正确导数为零的点不一定是极值点如函数yx3在x0处导数为零，但x0不是函数yx3的极值点(4)错误对于三次函数yax3bx2cxd，y3ax22bxc.当(2b)212ac0，即b23ac0时，y0无实数根，此时三次函数没有极值2函数yx2ln x的单调递减区间为(B)A(1,1B(0,1C1，)D(0，)解析函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得00)的单调递减区间是(0,4)，则m！#.解析f(x)3mx26(m1)x，f(x)的递减区间为(0,4)，则由f(x)3mx26(m1)x0得0x0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)令f(x)0，得x24x50(x0)，解得x5；由f(x)0，得x24x50)，解得0x0)；(2)f(x)x3(aa2)x2a3xa2.解析(1)函数的定义域为x|x0f(x)1(x)(x)要求f(x)的单调递减区间，不妨令f(x)0，则(x)(x)0，解得x，且x0，函数的单调减区间为(，0)和(0，)(2)yx2(aa2)xa3(xa)(xa2)，令y0，得(xa)(xa2)0.当a0时，不等式解集为x|axa2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)；当0a1时，不等式解集为x|a2x1时，不等式解集为x|axa2，此时函数的单调递减区间为(a，a2)；当a0，a1时，y0，此时，无单调递减区间综上所述，当a1时，函数yx3(aa2)x2a3xa2的单调递减区间为(a，a2)；当0a0(或f(x)0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围【例3】 已知函数f(x)x3ax1(1)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(1，)上为增函数，求a的取值范围；(3)若f(x)在(1,1)上为减函数，求a的取值范围；(4)若f(x)的单调递减区间为(1,1)，求a的值；(5)若f(x)在(1,1)上不单调，求a的取值范围解析(1)f(x)在R上为增函数，f(x)3x2a0在R上恒成立a3x2对xR恒成立3x20，只需a0.又a0时，f(x)3x20，f(x)x31在R上为增函数，a的取值范围是(，0(2)f(x)3x2a，且f(x)在(1，)上为增函数，f(x)0在(1，)上恒成立，3x2a0在(1，)上恒成立，a3x2在(1，)上恒成立，a3，即a的取值范围是(，3(3)f(x)3x2a，且f(x)在(1,1)上为减函数，f(x)03x2a0在(1,1)上恒成立，a3x2在(1,1)上恒成立x(1,1)，3x20时，由f(x)0，得3x2a0，x2，即x0时，f(x)在(1,1)上不单调，f(x)0在(1,1)内有解x，01，解得0a3.a的取值范围是(0,3)三构造法在函数单调性中的应用构造法在函数单调性中的应用技巧对于含有导函数不等式的试题，一般要依据导函数不等式(或其变式)和所求结论构造新的函数，并对构造的新函数求导，研究其单调性，应用构造新函数的单调性将所求问题转化求解【例4】 (1)已知函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)bcBcbaCcabDacb(2)(2017江苏卷)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是！#.解析(1)函数yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，yf(x)的图象关于点(0,0)对称，yf(x)为奇函数令g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)为偶函数，且g(x)f(x)xf(x)0在(，0)上恒成立，g(x)xf(x)在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数cf(2)f(2)2f(2)，0log330.32，g(log3)g(30.3)ab，故选C(2)由f(x)x32xex，得f(x)x32xexf(x)，所以f(x)是R上的奇函数，又f(x)3x22ex3x2223x20，当且仅当x0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增，所以不等式f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)f(2a2)a12a2，解得1a，故实数a的取值范围是.1(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是(D)解析根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A项，B项；记函数f(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(，x1)上f(x)0，所以函数f(x)在(，x1)上单调递减，排除C项，故选D2函数f(x)的定义域为R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集是(A)Ax|x0Bx|x0Cx|x1Dx|x1或0x1，g(x)ex(f(x)f(x)1)0，g(x)在R上是增函数又g(0)e0f(0)e010，exf(x)ex1exf(x)ex10g(x)0g(x)g(0)x0，故选A3(2018河北邯郸一模)已知函数f(x)ln xax2xm(mR)为增函数，那么实数a的取值范围为！#.解析f(x)ax1，x0.依题意可得f(x)0，则amax，而2，当x2时，等号成立，所以a的取值范围是.4设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间解析(1)f(x)x3ax29x1，f(x)3x22ax9329，即x时，f(x)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，912，即a29.解得a3，由题设a0，故f(x)在(，1)上为增函数；当x(1,3)时，f(x)0，故f(x)在(3，)上为增函数可见，函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(3，)，单调递减区间为(1,3)易错点导数与单调性的关系不明确错因分析：可导函数f(x)在某区间上f(x)0(f(x)0，在(0，)上f(x)0，故选D2函数f(x)xln x的单调递减区间为(A)A(0,1)B(0，)C(1，)D(，0)(1，)解析函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，解得0x0”是“f(x)在R上单调递增”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析f(x)x2a，当a0时，f(x)0恒成立，故“a0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件4(2016全国卷)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为(D)解析易知y2x2e|x|是偶函数，设f(x)2x2e|x|，则f(2)222e28e2，所以0f(2)1，所以排除A项，B项；当0x2时，y2x2ex，所以y4xex，又(y)4ex，当0x0，当ln 4x2时，(y)0的解集为(D)A(，2)(1，)B(，2)(1,2)C(，1)(1,0)(2，)D(，1)(1,1)(3，)解析由题图可知，f(x)0，则x(，1)(1，)，f(x)0等价于或即或解得x(，1)(1,1)(3，)6已知a0，函数f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是单调减函数，则a的取值范围是(C)ABCD解析f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意知当x1,1时，f(x)0恒成立，即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a，则有即解得a.二、填空题7函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_(1,11)_.解析由f(x)x315x233x6得f(x)3x230x33，令f(x)0，即3(x11)(x1)0，解得1x11，所以函数f(x)的单调减区间为(1,11)8幂函数f(x)xn23n(nZ)在(0，)上是减函数，则n_1或2_.解析f(x)在(0，)上是减函数，n23n0，解得0n0，故函数exf(x)ex2x在(，)上为增函数，故符合要求；对于，exf(x)ex3x，故exf(x)(ex3x)ex3x(1ln 3)0，故函数exf(x)ex(x22)在(，)上为增函数，故符合要求综上，具有M性质的函数的序号为.三、解答题10已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间解析(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0，f(x)，f(x)的变化如下.x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增单调递减单调递增f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，)，递减区间为(1,3)，要使函数f(x)在区间上是单调函数，则10，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(