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题组训练57 空间向量的应用(二)空间的角与距离 第1课时1(2018广西桂林一中期中)若a(2,3,m),b(2n,6,8),且a,b为共线向量,则mn的值为()A7B.C6 D8答案C解析由a,b为共线向量,得,解得m4,n2,则mn6.故选C.2已知向量a(2,1,3),b(1,4,2),c(7,5,)若a,b,c三个向量共面,则实数等于()A. B.C. D.答案D解析由题意,得ctab(2t,t4,3t2),所以解得故选D.3若平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,1,0),则平面和平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C解析由(1,2,0)(2,1,0)122(1)000,知两平面的法向量互相垂直,所以两平面互相垂直4已知平面内有一个点M(1,1,2),平面的一个法向量是n(6,3,6),则下列点P在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3,3,4)答案A解析n(6,3,6)是平面的法向量,n,在选项A中,(1,4,1),n0.5已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是()A(,) B(,)C(,) D(,)答案D解析(1,1,0),(1,0,1),设平面ABC的一个法向量n(x,y,z),令x1,则y1,z1,n(1,1,1)单位法向量为:(,)6已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1,y,3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,4 B.,4C.,2,4 D4,15答案B解析,0,即352z0,得z4,又BP平面ABC,BPAB,BPBC,又(3,1,4),则解得7已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;是平面ABCD的法向量;.其中正确的是_答案解析0,0,ABAP,ADAP.则正确从而正确,又(4,2,0)(2,1,4)(2,3,4).与不平行不正确8(2018甘肃兰州质检)如图,在直角梯形ABCD中,BCDC,AEDC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN平面DEC;不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MNAE;不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MNAB;在折起过程中,一定存在某个位置,使ECAD.答案解析不妨设BCa,CEEDb.折起后CED(00矛盾这样的点P不存在4(2018石家庄市高三一检)如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为梯形,ADBC,CDBC,AD2,ABBC3,PA4,M为AD的中点,N为PC上的点,且PC3PN.求证:MN平面PAB.证明方法一:(传统法)如图,在平面PBC内作NHBC交PB于点H,连接AH,在PBC中,NHBC,且NHBC1,AMAD1,又ADBC,NHAM且NHAM,四边形AMNH为平行四边形,MNAH,又AH平面PAB,MN平面PAB,MN平面PAB.方法二:(向量法)在平面ABCD内作AECD交BC于点E,则AEAD.分别以AE,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系则P(0,0,4),M(0,1,0),C(2,2,0),N(,),B(2,1,0),A(0,0,0),(,),(0,0,4),(2,1,0)设mn,(,)m(2,1,0)n(0,0,4),m,n,、共面平面PAB.又MN平面PAB.MN平面PAB.方法三:(法向量)建系写点坐标如方法二设m(x1,y1,z1)为平面PAB的一个法向量,则由m,m得令x11,则m(1,2,0)
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