2018年高中数学空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法学案新人教A版.docx

3.2第一课时空间向量与平行、垂直关系预习课本P102108，思考并完成以下问题1平面的法向量的定义是什么？2设直线l的方向向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则l，l的充要条件分别是什么？1平面的法向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量(2)平面的法向量直线l，取直线l的方向向量a，则a叫做平面的法向量2空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmababa1a2，b1b2，c1c2(R)(2)线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0a1a2b1b2c1c20.(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvuva1a2，b1b2，c1c2(R)3空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30.(2)线面垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaua1a2，b1b2，c1c2(R)(3)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则 uvuv0a1a2b1b2c1c20.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线l的方向向量是惟一的()(2)若点A，B是平面上的任意两点，n是平面的法向量，则n0()(3)若向量n1，n2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行()答案：(1)(2)(3)2若A(1,0，1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2,2,6)B(1,1,3)C(3,1,1) D(3,0,1)答案：A3设直线l1，l2的方向向量分别为a(2,2,1)，b(3，2，m)，若l1l2，则m等于()A2 B2C6 D10答案：D求平面的法向量典例已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，求平面的一个法向量解因为A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量为n(x，y，z)，则有即得z0，x2y，令y1，则x2，所以平面的一个法向量为n(2,1,0)利用待定系数法求法向量的解题步骤活学活用四边形ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC2，AD1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD平面SAB，(1,0,0)是平面SAB的一个法向量设平面SCD的法向量为n(1，y，z)，则n(1，y，z)(1,2,0)12y0，y.又n(1，y，z)(1,0,2)12z0，z.n即为平面SCD的一个法向量.用空间向量证明平行问题典例已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1平面ADE；(2)平面ADE平面B1C1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)，所以(0,2,1)，(2,0,0)，(0,2,1)(1)设n1(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1,2)因为n1220，所以n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0)，设n2(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1,2)，因为n1n2，所以平面ADE平面B1C1F.利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明活学活用在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点求证：PQRS.证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，(3,2,1)，(3,2,1)，即PQRS.法二：，即RSPQ.利用空间向量证明垂直问题典例如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，ABBCCE2CD2，BCE120.求证：平面ADE平面ABE.证明取BE的中点O，连接OC，则OCEB，又AB平面BCE，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.如图所示则由已知条件有C(1,0,0)，E(0，0)，D(1,0,1)，A(0，2)设平面ADE的法向量为n(a，b，c)，则n(a，b，c)(0,2，2)2b2c0，n(a，b，c)(1，1)abc0.令b1，则a0，c，n(0,1，)，又AB平面BCE，ABOC，OC平面ABE，平面ABE的法向量可取为m(1,0,0)nm(0,1，)(1,0,0)0，nm，平面ADE平面ABE.(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.活学活用在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF平面B1AC.证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)法一：(1，1,1)，(0,2,2)，(2,2,0)，(1，1,1)(0,2,2)0，(1，1,1)(2,2,0)0，EFAB1，EFAC，又AB1ACA，EF平面B1AC.法二：设平面B1AC的法向量为n(x，y，z)又(0,2,2)，(2,2,0)，则令x1，可得平面B1AC的一个法向量为n(1,1，1)又n，n，EF平面B1AC.层级一学业水平达标1若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)解析：选D问题即求与n共线的一个向量即n(2，3，1)(2,3，1)2已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3 B6C9 D9解析：选Cl，v与平面平行，uv，即uv0，1332z10，z9.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1,1，1) B(1，1,1)C(1,1,1) D(1，1，1)解析：选D(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1)4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AACBBDCA1DDA1A解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.5.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C，从而A1MD1P，可得正确又B1Q与D1P不平行，故不正确6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：由于12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确答案：7在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或8.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0,0,3a)，C(0，a,0)，D，3a.设E(a,0，z)(0z3a)，则，(a,0，z3a)，.又a2a200，故由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有即取z11，则n1(1,1，1)(1,0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有即取z21，则n2(1，1,1)n2，PB平面EFD.10已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，M分别是BC，AE的中点，ADAA1a，AB2a.试问在线段CD1上是否存在一点N使MN平面ADD1A1，若存在确定N的位置，若不存在说明理由解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a，0,0)，B(a,2a,0)，C(0，2a,0)，D1(0,0，a)，E，M，(0,2a,0)，(0，2a，a)，假设CD1上存在点N使MN平面ADD1A1并设1(0，2a，a)(00)，a，PA平面xOy，则在RtPBO中，|PB|sina，im，在RtPCO中，|OC|cosa，j，|AB|，在RtPAB中，|PA| ，|OD|，在RtPDO中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.8.如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12，ABBC1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()A. B.C. D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)设点P的坐标为(0，2)，0,1，点Q的坐标为(1，0)，0,1，PQ，当且仅当，时，线段PQ的长度取得最小值.二、填空题(本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每题4分，共36分)9已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角