世纪金榜2015高考数学专题辅导与训练配套课件专题五立体几何

第二讲 点、直线、平面之间的位置关系,【主干知识】 1.必记定理 (1)线面平行与垂直的判定定理、性质定理:,(2)面面平行与垂直的判定定理、性质定理:,3.易错提醒 (1)忽视线面平行判定定理的条件:证明线面平行时,忽视“直线在平面外”“直线在平面内”的条件. (2)忽视线面垂直判定定理的条件:证明线面垂直时,忽视“平面内两条相交直线”这一条件. (3)关注面面垂直的性质定理的条件:当题目涉及面面垂直的条件时,一般用此定理转化为线面垂直,应用时注意在面面垂直的前提下,过平面内一点,垂直于两平面交线的直线应在其中一个平面内.,【考题回顾】 1.(2014嘉兴模拟)如图,梯形ABCD中, ADBC,ABC=90,ADBCAB=2 34,E,F分别是AB,CD的中点,将四边 形ADFE沿直线EF进行翻折.给出下列结论: DFBC;BDFC;平面DBF平面BFC;平面DCF平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选B.考虑:因为BCAD, AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不 垂直,则不成立; 考虑:设点D在平面BCF上的射影为 点P,当BPCF时就有BDFC, 而ADBCAB=234可使条件满足,所以正确; 考虑:当点P落在BF上时,DP平面BDF,从而平面BDF平面BCF,所以正确. 考虑:因为点D的射影不可能在FC上,所以不成立.,2.(2014绍兴模拟)已知m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是 ( ) A.若m,则m B.若m,则m C.若m,则m D.若m,m,则 【解析】选B.选项A中m,则m,相交或m;选项C中若m,则m或m;选项D中若m,m,则或相交,故选B.,3.(2014辽宁高考)已知m,n表示两条不同的直线,表示平面,下列说法正确的是 ( ) A.若m,n,则mn B.若m,n,则mn C.若m,mn,则n D.若m,mn,则n 【解题提示】否定一个结论,只需举一个反例即可.,【解析】选B.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线AA1,AB1分别与平面CC1D1D平行,但是直 线AA1,AB1相交,故选项A错误; 根据线面垂直的定义,一条直线垂直于一个 平面,则该直线垂直于平面内的任一条直线,可见选项B正确; 直线AA1平面ABCD,AA1BC,但直线BC平面ABCD,故选项C错误;直线AA1平面CC1D1D,AA1CD,但直线CD平面CC1D1D,故选项D错误.,4.(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则( ) A.且l B.且l C.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l,【解析】选D.根据所给的已知条件作图,如图所示.由图可知与相交,且交线平行于l,故选D.,热点考向一 与空间位置关系有关的命题真假的判断 【考情快报】,【典题1】(1)(2014绍兴模拟)已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) A.若m,n,则mn B.若=m,mn,则n C.若m,n,则mn D.若m,m,=n,则mn,(2)(2014长春模拟)给出下列关于互不相同的直线m,l,n和平面,的命题: 若m,l=A,点Am,则l与m不共面; 若m,l是异面直线,l,m,且nl,nm,则n; 若l,m,则lm; 若l,m,lm=A.l,m,则. 其中为假命题的是 ( ) A. B. C. D.,【信息联想】(1)看到线线平行或线面垂直,想到_ _. (2)看到命题,想到_; 看到命题,想到_; 看到命题,想到_; 看到命题,想到_.,线面平行或,垂直的判定与性质,空间两条直线的位置关系,线面平行的性质定理及线面垂直的判定定理,线面平行与面面平行的性质定理,线面平行的性质定理与面面平行的判定定理,【规范解答】(1)选D.选项A中,m与n也可能异面;选项B中,n与 的关系不确定;选项C中,m与n可能平行,也可能相交或异面; 选项D由线面平行的性质可以确定是正确的. (2)选D.对于命题,假设l与m共面,则直线l与m平行或相交,由 于A,Am,则点A和直线m确定平面,又直线l与m共面,则直 线l与m确定平面,则直线m为平面与平面的交线,由于Al 而l,所以A,可知,Am,这与Am矛盾,故假设不成立, 故l与m不共面,命题为真命题;对于命题,因为m,则在,平面内存在直线m1,使得mm1,同理,在平面内存在直线l1, 使得ll1,由于直线m与直线l为异面直线,则m1与l1相交,因为n l且nm,所以nm1且nl1,由于m1l1 ,所以n,命题 为真命题;对于命题,如l,m,当时,l,m ,但是直线l与m无交点,则直线l与m平行或异面,故命题为假 命题;对于命题,由面面平行的判定定理可知命题正确,故 选D.,【规律方法】判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断. (2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行肯定或否定.,【变式训练】m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,有下列命题: 若mn,n,则m; 若mn,m,n,则n; 若,m,n,则mn; 若m,n是异面直线,m,n,m,则n. 其中正确的命题有 ( ) A. B. C. D.,【解析】选B.如图所示的正方体中,设ABCD为平面,m为AD, n为BC,虽然mn,n,但m和不平行,错;若mn,m, n则n和内的某条直线平行,故n,正确;若, m,n,则m和n必垂直,正确;设ABCD为平面,DCCD 为平面,m为AB,n为DC,则m,n是异面直线,m,n, m,但n和相交,故错,选B.,【加固训练】设l是直线,是两个不同的平面( ) A.若l,l,则 B.若l,l,则 C.若,l,则l D.若,l,则l 【解析】选B.对于A:若l,l,则,可能相交,故A错;对于B:若l,则平面内必存在一条直线m与l平行,则m,又m,故,从而B正确.对于C:若,l,则l可能在平面内,也可能与平面平行,故C错.对于D:若, l,则l可能与平行或l或l与相交,故D错.,热点考向二 证明平行关系 【考情快报】,【典题2】已知直三棱柱ABC-ABC,AA平面ABC, BAC=90,AB=AC,点M,N分别为AB和BC的中点. 证明:MN平面AACC.,【信息联想】看到证明MN平面AACC,想到_ _ _ _.,利用线面平,行的判定定理去证明MN和平面AACC中一直线平行,或利,用面面平行的性质,过直线MN作一平面,证明该平面与平面,AACC平行,【规范解答】方法一:如图,连接AB, AC.由已知BAC=90,AB=AC,三棱 柱ABC-ABC为直三棱柱, 点M为AB的中点. 又因为点N为BC的中点, 所以MNAC.又因为MN平面AACC,AC平面AACC, 所以MN平面AACC.,方法二:取AB的中点P,连接MP,NP. 因为M,N分别为AB和BC的中点, 所以MPAA,PNAC, 所以MP平面AACC,PN平面AACC. 又MPNP=P,所以平面MPN平面AACC. 而MN平面MPN,所以MN平面AACC.,【规律方法】 1.证明线线平行的常用方法 (1)利用三角形中位线定理证明:即遇到中点时,常找中位线,利用该定理证明. (2)利用平行四边形对边平行证明:即要证两线平行,以两线为对边构造平行四边形证明. (3)利用平行公理证明:即要证两线平行,找第三线并证明其分别与要证两线平行即可.,2.证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线平行. (2)利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明面面平行. 3.证明面面平行的方法 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个平面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.,【变式训练】1.如图,在三棱锥S-ABC中,ABBC,AS=AB,过点A作AFSB,垂足为点F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:平面EFG平面ABC.,【证明】因为AS=AB,AFSB, 所以F是SB的中点. 因为E,F分别是SA,SB的中点,所以EFAB, 又因为EF平面ABC,AB平面ABC, 所以EF平面ABC,同理:FG平面ABC, 又因为EFFG=F,EF,FG平面EFG, 所以平面EFG平面ABC.,2.(2014安徽高考)如图,四棱锥P-ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长 均为2 .点G,E,F,H分别是棱PB,AB, CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面 ABCD,BC平面GEFH. (1)证明:GHEF. (2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.,【解题提示】(1)由线面平行得出BC平行于直线EF,GH. (2)设BD交EF于点K,则点K为OB的中点,由面面垂直得出GK EF,再由梯形面积公式S= 计算求解.,【解析】(1)因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH, 所以GHBC,同理可证EFBC,因此GHEF. (2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK, 因为PA=PC,点O是AC的中点, 所以POAC, 同理可得POBD, 又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD, 又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH, 所以PO平面GEFH, 因为平面PBD平面GEFH=GK, 所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF, 所以GK是梯形GEFH的高,由AB=8,EB=2得EBAB=KBDB=14,从而KB= DB= OB,即点K是OB的中点. 再由POGK得GK= PO，即点G是PB的中点， 且GH= BC=4，由已知可得OB=4 ，PO= 所以GK=3，故四边形GEFH的面积S=,【加固训练】在如图所示的多面体ABCDE中,AB平面ACD,DE平面ACD,且AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段CE上找到点F的位置,使得恰有直线BF平面ACD,并证明. (2)求多面体ABCDE的体积.,【解析】(1)由已知AB平面ACD,DE平面ACD, 所以ABED, 设点F为线段CE的中点,点H是线段CD的中点, 连接FH,AH,则FH ED, 所以FH AB, 所以四边形ABFH是平行四边形,所以BFAH, 又因为BF平面ACD,AH平面ACD, 所以BF平面ACD.,(2)取AD中点G,连接CG. 因为AB平面ACD,所以CGAB, 又CGAD,ABAD=A,所以CG平面ABED,即CG为四棱锥C-ABED 的高,求得CG= ,所以VC-ABED=,热点考向三 证明垂直关系 【考情快报】,高频考向 多维探究,命题角度一 利用线面垂直的性质证明线线垂直 【典题3】(2014北京模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点. (1)求证:EF平面ABC1D1. (2)求证:EFB1C.,【现场答案】,【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出正确答案. 提示:以上解题过程中有两处错误:一是在第(1)问中证明线面平行时,由EFD1B,就直接得出EF平面ABC1D1,造成推理论证不严谨的错误;二是第(2)问中在用线面垂直的性质证明线线垂直时,关键点遗漏,导致推理不严密.,【规范解答】(1)连接BD1,如图所示,在DD1B中,点E,F分别为DD1,DB的中点, 则EFD1B, 因为D1B平面ABC1D1,EF平面ABC1D1, 所以EF平面ABC1D1. (2)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AB平面BCC1B1,所以B1CAB. 又因为B1CBC1,AB平面ABC1D1,BC1平面ABC1D1,且ABBC1=B,所以B1C平面ABC1D1. 又因为BD1平面ABC1D1,所以B1CBD1. 又因为EFBD1,所以EFB1C.,命题角度二 证明线面垂直、面面垂直 【典题4】如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD底面ABCD,PDCD,底面ABCD是直角梯形,ABCD,ADC=90, AB=AD=PD=1,CD=2. 求证:平面PBC平面PBD.,【信息联想】看到侧面PCD底面ABCD,想到_ _;看到求证平面PBC平面PBD,想到_.,面面垂直的性质,定理,面面垂直的判定定理,【规范解答】在梯形ABCD中,过点B作BHCD于H. 在BCH中,BH=CH=1,所以BCH=45. 又在DAB中,AD=AB=1, 所以ADB=45, 所以BDC=45,所以DBC=90, 所以BCBD,因为平面PCD平面ABCD,平面PCD 平面ABCD=CD,PDCD,PD平面PCD, 所以PD平面ABCD, 所以PDBC,BDPD=D,BD平面PBD, PD平面PBD, 所以BC平面PBD,BC平面PBC. 所以平面PBC平面PBD.,【互动探究】在本例的条件下,若E为PC的中点,试证明BE平面PAD. 【解析】如图,取PD的中点F,连接EF,AF,因为点E,F分别为PCD边PC,PD的中点, 所以EF CD,所以EF AB, 所以四边形FABE为平行四边形, 所以BEAF,AF平面PAD, BE平面PAD,所以BE平面PAD.,【规律方法】 1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直. (2)利用勾股定理逆定理. (3)利用线面垂直的性质,即要证明线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.,2.证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直. (2)利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面垂直. (3)利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等.,3.证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决.,【变式训练】(2014宁波模拟)如图,四面体ABCD中,点O,E分 别是BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD= . (1)求证:AO平面BCD. (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值. (3)求点E到平面ACD的距离.,【解析】(1)因为BO=DO,AB=AD,所以AOBD. 因为BO=DO,BC=CD,所以COBD. 在AOC中,由已知可得AO=1,CO= . 而AC=2,所以AO2+CO2=AC2, 所以AOC=90,即AOOC. 因为BDOC=O, 所以AO平面BCD.,（2）取AC的中点M，连接OM， ME，OE，由点O，E分别是BD， BC的中点知MEAB，OEDC. 所以直线OE与EM所成的锐角 就是异面直线AB与CD所成的角. 在OME中， 因为OM是RtAOC斜边AC上的中线，所以OM= AC=1， 所以cosOEM= .,（3）设点E到平面ACD的距离为h. 因为VE-ACD=VA-CDE， 所以 hSACD= AOSCDE. 在ACD中，CA=CD=2，AD= ， 所以SACD= 而AO=1，SCDE=,【加固训练】(2014韶关模拟)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是AB的中点. (1)求三棱锥D1-DCE的体积. (2)求证D1EA1D.,【解析】(1)由长方体性质可得,DD1平面DCE,所以DD1是三 棱锥D1-DCE的高,又点E是AB的中点,AD=AA1=1,AB=2,所以DE= CE= , DE2+EC2=CD2,所以DEC=90, 三棱锥D1-DCE的体积V=,(2)连接AD1,因为A1ADD1是正方形,所以AD1A1D.,又因为AE平面ADD1A1,A1D平面ADD1A1, 所以AEA1D, 又因为AD1AE=A,所以A1D平面AD1E, D1E平面AD1E,所以D1EA1D.,【备选考向】平面图形的“折叠”与“翻折”问题 【典题】(2014珠海模拟)如图(1),在等腰梯形CDEF中,CB, DA是梯形的高,AE=BF=2,AB=2 ,现将梯形沿CB,DA折起,使 EFAB且EF=2AB,得一简单几何体ABCDEF(如图(2),已知M, N,P分别为AF,BD,EF的中点.,(1)求证:MN平面BCF. (2)求证:APDE.,【证明】(1)连接AC,因为四边形ABCD是矩形,N为BD中点, 所以N为AC中点, 在ACF中,M为AF中点,故MNCF. 因为CF平面BCF,MN平面BCF, 所以MN平面BCF.,(2)依题意知DAAB,DAAE,且ABAE=A, 所以AD平面ABFE, 因为AP平面ABFE,所以APAD, 因为P为EF中点, 所以FP=AB=2 , 结合ABEF,知四边形ABFP是平行四边形,所以APBF,AP=BF=2, 而AE=2,PE=2 ,所以AP2+AE2=PE2, 所以EAP=90,即APAE, 又因为ADAE=A,所以AP平面ADE, 因为DE平面ADE,所以APDE.,【规律方法】解决折叠问题的关键点 (1)搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变,抓住翻折前后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口. (2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.,【加固训练】如图1,在RtABC中,C=90,点D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2.,(1)求证:DE平面A1CB. (2)求证:A1FBE. (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由.,【解析】(1)因为点D,E分别是AC,AB的中点, 所以DEBC, 又因为DE平面A1CB,BC平面A1CB, 所以DE平面A1CB.,(2)因为DEBC,ACBC, 所以DEAC, 所以DEA1D,DECD. 因为A1DCD=D, 所以DE平面A1DC. 因为A1F平面A1DC, 所以DEA1F. 又因为A1FCD,CDDE=D, 所以A1F平面BCDE, 因为BE平面BCDE,所以A1FBE.,(3)存在.取A1B的中点Q,A1C的中点P, 连接DP,PQ,QE.,则PQBC,所以PQDE. 由(2)知DE平面A1DC, 所以DEA1C,所以PQA1C. 因为A1D=DC, 所以A1DC是等腰三角形. 又因为点P为A1C的中点,所以A1CPD. 因为PDPQ=P, 所以A1C平面PQED, 即A1C平面DEQ.,转化与化归思想 解决立体几何中的探索性问题 【思想诠释】 求解立体几何中的探索性问题应用转化与化归思想的常见类型: 1.探索平行或垂直关系:求解时,常假设其存在,在这个假设下根据题设条