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函数的极值和最值,本节内容提要:,一、极值及其求法 1.极值的定义 2.极值存在的必要条件和充分条件,二、最大值与最小值,本节重点: 极值的定义,极值存在的必要条件和充分条件,求极值的方法,求最值的方法 本节难点: 极值和最值的关系,极值点和驻点、不可导点之间的关系, 求极值和最值的方法,一、极值及其求法,1.极值的定义: 定义:设y=f(x)在 某一邻域内有定义,如果对于该邻域内异于 的任意点x都有: (1) f(x) f( ),则称f( )为f(x)的极小值, 称为f(x)的极小值点; 极大值,极小值统称为极值;极大值点,极小值点统称为极值点. 注: (1) 极值是局部概念,极值不一定是最值; (2) 极值不唯一,极大值不一定比极小值大,2.极值存在的必要条件和充分条件:,(1)必要条件 定理 若函数f(x)在 可导,且在 处取得极值,则,注：极值点是驻点或不可导点，反之不成立。 例 x=0是函数 的驻点而非极值点;,（2）极值存在的第一充分条件 定理：设函数 f (x)在点 的某一邻域内可导且 (1)若x 时 ,则f (x)在点 处取得极大值f ( ) (2)若x 时， , 则f (x)在点 处取得极小值f ( ) (3）若x从 的左侧变化到右侧时， 不变号，则f (x)在 处无极值. 注：此定理也可以判断不可导点是否为极值点,函数有极大值f(0)=0 极小值f (1)=-3,（3）第二充分条件 定理：设f (x)在点 的某邻域内一阶可导， 在x= 处二阶可导，且 , , (1)若 ,则f(x)在点 取得极大值 (2)若 ,则f(x)在点 取得极小值。,二、最大值与最小值 1.设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上必有最值,求最值的方法： 求 求出f(x)在a,b内的所有驻点和不可导点 (i=1,2,n) 求f(a),f(b),f( ),其中最大(小)的即为f(x) 在a,b上的最大(小)值。,2f(x)在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际问题的性质知f(x)的最大（小）值一定存在，则在驻点处取得最值。 例4从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积最大？,解：设小正方形的边长为a 盒子的容积,函数在定义区间驻点唯一，由问题性质知最大容积一定存在， 所以，当正方形的边长为 ，即从四角各截去一边长为 的小正方形，可使盒子的容积最大 例5：一张1.4米高
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