高数上册第一章第九节连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

1,第九节 连续函数的运算,一、四则运算的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、小结 思考题,与初等函数的连续性,2,一、连续函数的四则运算的连续性,【定理1】,例 如 ,（上节已证）,由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，立得:,【推广】,有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。,【结论】三角函数在其定义域内连续.,若f(x) , g(x)在点x0处连续，则f(x)g(x) ，,f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在点x0处也连续.,3,二、反函数与复合函数的连续性,【定理2】严格单调的连续函数必有严格单调的 连续反函数.（证明略）,例如,【结论】反三角函数在其定义域内皆连续.,1. 反函数的连续性,4,【定理3】,【证】,2、复合函数的连续性,5,将上两步综合起来:,【注意】,本节定理3是5定理6（复合函数求极限的法则）的特例，外层函数由原来的极限存在加强为连续。,6,【意义】,【例1】,【解】,可知,极限符号 可以与函数符号 f 交换次序;,条件是：内层函数极限存在、外层函数在对 应点连续；则可交换次序.,同理,（即教材例6）,利用lnu的连续性,7,【教材例3】,【解】,可视为由,复合而成，,则,8,又如,交换次序：用arccosu的连续性,分子有理化,分离无穷小量,9,【定理4】,【注意】定理4是定理3的特殊情况.,简言之：,内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续,10,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,11,【关系】,5 定理6：内、外层函数极限都存在，则复合函数极限存在.(叙述不严格),本节定理3：内层函数极限存在、外层函数加强为连续，则复合函数极限存在，且极限符号和函数符号可交换次序.,本节定理4：内、外层函数都加强为连续，则复合函数也连续（极限存在且等于函数值、极限符号和函数符号可交换次序）.,12,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.（已证）,（指出但不详细讨论）,（由【定理2】反函数的连续性可得）,13,【定理5】 基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续 ),定义区间是指包含在定义域内的区间.,由【定理4】复合函数的连续性,基本初等函数在定义域内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续【定理6】,14,1.初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义.,在0点的某去心邻域内没有定义.,【注意】,【注意】2.初等函数求极限的方法代入法.,则既不是连续点也不是间断点,又如,15,【例3】,【例4】,【解】,【解】,有理化后消去0因子,16,【教材例8】,【解】,【解】,ln(1+2x) 2x (x0),17,【补充】,则有,ln1+u(x) u(x) (u(x)0),18,【一般地】,的函数称为幂指函数,若,则,【注意】,.lim表示自变量的同一变化过程中的极限.,（是定式情况下成立）,.不能分两步写作：,19,【思考题】,20,【思考题解答】,是它的可去间断点,21,【思考题】,22,【思考题解答】,且,23,但反之不成立.,例,但,24,教材习题19 P69 第2题 解答,【证明】,在 点，有且仅有三种情形：,25,又由假设,故,即,由函数极限的局部保号性立知,26,今取,故,此即,则,27,上两式同时成立,即,【证完】,连续,28,四、小结,3.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.,2.两个定理（3、4）;两点意义.,1.基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数