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文档简介

,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,函数的求导法则,第二章,解决求导问题的思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其他基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题 .,此法则可推广到任意有限项的情形.,证: 设,则,故结论成立.,例如,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),例1.,解:,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),例2. 求证,证:,类似可证:,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,例3. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,2) 设,则,小结:,推论3),在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),故有,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例4. 求下列导数:,解: (1),(2),(3),说明: 类似可得,例5. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,例6. 设,解:,记,则,(反双曲正弦),其他反双曲函数的导数看参考书自推.,的反函数,双曲正弦,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数 (P95),2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式,其他公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,先化简后求导,例9.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例10. 设,求,解:,内容小结,求导公式及求导法则 (见P95 P96),注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,1.,思考与练习,对吗?,2. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,由于 f (a) = 0，故,3. 求下列函数的导数,解: (1),(2),或,4. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,作业,P 97 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ; 8 (4) , (5) , (8)
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