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高等数学,第一节 集合与函数,一、集合 数集 二、函数 三、函数的初等性质 四、函数的运算 五、初等函数 六、小结,一、集合、数集,（1）集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,（2）集合的元素：组成这个集合的事物。,（3）集合表示方法,无限集,有限集,（4）相互关系,1. 集合,2. 两种常见数集,（1）区间（略） （2）邻域： a)定义：,b) 几何解释,c),二、函数,例 圆内接正多边形的周长,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,1. 概念,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,(1) 符号函数,2. 几个特殊的函数举例,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3) 取最值函数,(4),例1,解,故,设函数 在集合 上有定义，若存在正常数 ，使得对任意 ，有 （或对任意 有 ），则称 在 上有上界（或有下界），且称 为 在 上的一个上界(或下界)。若 存在，使得对任意 有 ， 则称 在 上有界；否则称 为 上的无界函数。,三、函数的特性,1函数的有界性:,有界,无界,注：有界的概念与数集紧密相关,2 函数的单调性:,3 函数的奇偶性（前提是定义域关于原点对称）,偶函数,奇函数,4 函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,四、反函数,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,指数函数,五 基本初等函数,幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数,六 复合运算、初等函数,1.复合函数：设函数 的定义域分别为 的值域为W，且W . 则称函数 由函数 及 复合而成,内函数,外函数,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 函数能复合需满足： W,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,例1,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),例2,例3,解,综上所述,由常数及基本初等函数经有限次四则运算 与复合运算构成并可用一个式子表示的函数。,2 初等函数,六、小结,基本概念 集合, 区间, 邻域,函数的概念,函数的特
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